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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟457 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。问题:1. x→0时，下列无穷小量阶数最高的是______ A． B．3x3-4x4+5x5  C．ex2-cosx  D． 答案:D[考点] 本题考查无穷小量阶数的比较，A、B、C选项可按照泰勒公式展开然后比较阶数，D选项通过洛必达法则求极限得出n的取值。[解析] 选项A， ， 其中，故 ， 可知。 选项B，3x3-4x4+5x5=3x3+o(x3)，可知3x3-4x4+5x5-3x3。  选项C，ex2-cosx=ex2-1+1-cosx，其中ex2-1～x2，，可知 ， 可知。 选项D，假设和xn同阶，计算极限  可见，要使极限为非零常数，必有n=4。 问题:2. 设函数，则x=0为f(x)的______A.连续点B.跳跃间断点C.可去间断点D.无穷间断点答案:B[考点] 本题考查函数间断点的类型。左右极限相等但不等于该点函数值的间断点为可去间断点，左右极限都存在但不相等的间断点为跳跃间断点，左右极限至少有一个为无穷大的间断点为无穷间断点，左右极限至少有一个不存在且不是无穷大的间断点为振荡间断点。[解析] 通过求解极限得到函数的表达式，即  故由于f(0+0)=1，f(0-0)=0， 可知x=0为f(x)的跳跃间断点。 问题:3. 设f(x)在x=x0处取得极大值，则______A.f(x0)=0B.存在δ＞0使得f(x)在(x0-δ，x0)上单调递增，在(x0，x0+δ)上单调递减C.存在δ＞0使得f(x)在(x0-δ，x0)上f(x)＞0，在(x0，x0+δ)上f(x)＜0D.-f(x)在x=x0处取得极小值。答案:D[考点] 本题考查函数取极值的条件，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然，极值点只能是驻点或不可导点，所以需要从这两方面去判断。[解析] 极值对函数性质无要求，极值点处不一定可导，仅需函数有定义即可，所以排除A、C选项。 B选项仅为取得极大值的充分条件，而非必要条件，例如在x=1点取得极大值，f(x)在(x0-δ，x0)上单调递增，但在(x0，x0+δ)上也单调递增。 D选项，因为f(x)在x=x0处取得极大值，从而存在δ＞0，使得对(x0-δ，x0)∪(x0，x0+δ)有f(x0)＞f(x)，从而有-f(x0)＜-f(x)。 问题:4. 已知函数f(x，y)满足，则下列结论中不正确的是______A.f(x，y)在(0，0)点可微。B.fx(0，0)=-2C.fy(0，0)=1D.fx(0，0)和fy(0，0)不一定都存在。答案:D[考点] 本题考查二元函数可微的极限定义。[解析] 根据多元函数可微的定义， ， 其中A=fx(x，y)，B=fy(x，y)，那么有  ， 通过观察f(x，y)在(0，0)点可微，fx(0，0)=-2，fy(0，0)=1。 问题:5. 累次积分化为极坐标形式的二重积分为______ A． B． C． D． 答案:B[考点] 本题考查直角坐标与极坐标之间的转换，根据可将直角坐标积分化为极坐标形式的二重积分。[解析] 根据已知可得 ， 。 所围成的区域如图所示则根据可得原式化为极坐标形式的二重积分为。 问题:6. 设f(x)是(-∞ +∞)上连续的偶函数，且|f(x)|≤m，则是(-∞，+∞)上的______A.有界偶函数B.无界偶函数C.有界奇函数D.无界奇函数答案:A[考点] 本题考查函数的奇偶性和有界性。函数F(x)是变上限积分的函数，故利用变上限积分函数的相关性质去解题。[解析] 首先讨论F(x)的奇偶性： 对任意的x∈(-∞，+∞)，有  ， 令t=-u，则  ， 故F(x)是(-∞，+∞)上的偶函数。  其次讨论F(x)的有界性：  因F(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，故可只讨论x≥0时，F(x)的有界性。由于   所以F(x)是(-∞，+∞)上的有界函数。 问题:7. 设A为4阶矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=0的基础解系为(1，2，-3，0)T，则下列说法中错误的是______A.α1，α2，α3线性相关。B.α4可由α1，α2，α3线性表出。C.α1，α2，α4线性无关。D.α1可由α2，α3，α4线