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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟259 解答题问题:1. 设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，求dy．答案:解：[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)问题:2. 一粒质量为20g的子弹以速度v0=200m/s打进一块厚度为10cm的木板，然后穿过木板，以速度v1=80m/s离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比(比例系数为k)，问子弹穿过木板的时间．答案:解：依题意及牛顿第二定律，有  即，两端积分，得  代入定解条件v|t=0=200，得，故有． 设子弹穿过木板的时间为T秒，则  又已知t=T时，v=v1=80 m/s，于是  从而 kT=0.00015 为此有  所以  故子弹穿过木板运动持续了T=0.0008s．[考点] 常微分方程及其应用问题:3. 设a为一个正数，试将a分为若干部分，使各部分的乘积最大．答案:解：如果要求将a分成n份，使这几部分的乘积最大，那么由算数一几何平均不等式可知，只有当各部分相等时乘积才最大．于是本题转化为求n，使  最大．为此，设函数   则   故函数有唯一的稳定点，且当时函数单调递增，当时函数单调递减． 因此是函数的唯一最大值点． 注意到，原问题要求n为正整数．如果0＜a＜e，那么当n≥1时，严格单调下降，因此应取n=1，当a≥e时，如果恰为正整数，那么取即可．如果不是正整数，那么存在正整数n0，使得  而在n0的左边单调递增，在n0+1的右边单调递减，因此应在n0与n0+1两者中取使值  较大的一个．  综上所述，我们得到如下的分法：  对取整，记．如果n1=0，那么取n=1，否则计算f(n1)与f(n2)，如果前者大于后者，那么取n1，如果两者相等，那么取n1，n2皆可，否则取n2．[考点] 一元函数微积分问题:4. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，过点A(a，f(a))与B(b，f(b))的直线与y=f(x)的图像交于C(c，f(c))，其中a＜c＜b．证明：在(a，b)中至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0．答案:证明：对f(x)在[a，c]和[c，b]上分别运用拉格朗日中值定理，则，ξ2∈(c，b)，使得．由于点C(c，f(c))在过点A与B的直线上，所以过AC的直线的斜率等于过BC的直线的斜率，即  所以f(ξ1)=f(ξ2)．又f(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，且f(ξ1)=f(ξ2)，由罗尔中值定理，可得至少存在一点，使得f(ξ)=0．[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)问题:5. 求．答案:解：注意到x→-∞，则x＜0，，故 [考点] 函数、极限问题:6. 试证积分第一中值定理：若f(x)在[a，b]上连续，且g(x)在[a，b]上不变号，则存在ξ∈[a，b]，使得 答案:证明：由闭区间上连续函数的最值定理，不妨设  则m≤f(x)≤M，x∈[a，b]．不妨设g(x)≥0，x∈[a，b)]，则 mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x) (x∈[a，b]) 所以  由于，则可分成以下两种情况讨论： 情况1 ，则，结论显然成立． 情况2 ，进而有  再由连续函数的介质性定理，，即  注 积分第一中值定理中的ξ∈[a，b]，也可以进一步要求ξ∈(a，b)(即中值点不取端点)，此时亦可得到： 广义的积分第一中值定理：若f(x)在[a，b]上连续，且g(x)在[a，b]上不变号，则存在ξ∈(a，b)，使得 [考点] 一元函数微积分问题:7. 算，其中D={(x，y)|1≤x≤2，1≤y≤2}．答案:解：如图所示，用曲线xy=2将区域D分为D1和D2，其中D1={(x，y)|xy≤2，x≥1，y≥1}，D2={(x，y)|xy≥2，x≤2，y≤2)．在D1中，，从而，同样在D2中，，从而，则  [考点] 二重积分A是n阶方阵，有特征值λ1＜λ2＜…＜λn，问：8. a满足什么条件时，aE+A正定； 答案:解：A有特征值λi(i=1，2，…，n)，则aE+A有特征值a+λi(i=1，2，…，n)，由题设条件知 a+λ1＜a+λ2＜…＜a+λn 当a+λ1＞0时，有a+λi＞0(i=1，2，…，n)，