一轮椭圆及其性质-副本.docxVIP

高考一轮 第十章 圆锥曲线与方程第 1 讲 椭圆及其性质 考点一 椭圆的标准方程 知识点 椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F 1， F 2 的距离的和等于常数 (大于 |F 1F 2|)的点的轨迹 (或集合 ) 叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言： P＝ { M ||MF 1 |＋ |MF 2|＝2a，且 2a|F 1F 2|} ， |F 1F 2|＝ 2c，其中 a c0，且 a，c 为常数． 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点 P(x0， y0) 与两焦点构成的△ PF 1 F2 叫做焦点三角形． 如图所示，设∠ F 1PF 2 ＝ θ. 当 P 为短轴端点时， θ最大． ＝ 1 2 sinθ ＝ b2 θ c|y S△ PF F 1 2 |PF1||PF 2 | ·sinθ＝ b 2 · 1＋ cosθ tan ＝2 ＝ 0|，当|y0|＝ b，即 P 为短轴端点时， S△ PF F 1 2 取最大值，为 bc. 焦点三角形的周长为 2(a＋ c)． 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种： x2 y2 当椭圆的焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为 a2＋ b2＝ 1(a b0) ． y2 x2 当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为 特殊的椭圆系方程 a2＋ b2＝ 1(a b0) ． 与椭圆 x2 y2 2＋ 2＝ 1 共焦点的椭圆可设为 x y2 2＋2 2 2 ＋  ＝ 1( k－ m2 ， k－ n2 )． m n x2 y2 m ＋ k n ＋ k x2 y2 y2 与椭圆 a2＋ b2＝ 1( a b0) 有相同离心率的椭圆可设为 a2＋ b2＝ k1(k10，焦点在 x 轴上) 或a2 x2 ＋b2＝ k2( k20 ，焦点在 y 轴上 )． 注意点 对椭圆定义的理解 当 2a|F1 F2 |时，轨迹为椭圆；当 2a＝ |F 1F 2|时，轨迹为线段 F1 F2 ；当 2a|F 1F 2|时，轨迹不存 在. 入门测 思维辨析 平面内与两个定点 F1 ， F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( ) 方程 mx2 ＋ ny2＝ 1( m0， n0， m≠ n)表示的曲线是椭圆． ( ) y2 x2 a2＋ b2 ＝ 1( a≠ b)表示焦点在 y 轴上的椭圆． ( ) x2 y2 y2 x2 (4)a2＋ b2 ＝ 1( a b0) 与a2＋ b2＝ 1(ab0) 的焦距相同． ( ) 已知方程 x ＋ 25－ m 2 y2 m＋ 3  ＝ 1 表示椭圆，则 m 的取值范围为 ( ) A． (－ 3,5) B． (－ 3,1) C． (1,5) D． (－ 3,1) ∪ (1,5) 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距依次成等差数列， 则该椭圆的离心率是 ( ) 4 3 A. 5 B. 5 2 1 C.5 D. 5 解题法 命题法 椭圆的定义和标准方程 x2 y2 典例 (1)已知椭圆 E： a2 ＋ b2 ＝ 1( a b0) 的右焦点为 F(3,0) ，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则 E 的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 A. 45＋ 36＝ 1 B. 36＋ 27＝ 1 2C. x ＋ 2 y ＝ 1 D. x y2 2＋ ＝ 1 2 227 18 2 x2 y2 18 9 (2)椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A， B.当△ FAB 的周长最大时， △FAB 的面积是 ． 【解题法】 1.椭圆定义的应用的类型及 方法 利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆． 利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得 |PF 1| ·|PF2 |，再结合 |PF 1|2＋ |PF2 |2＝ (|PF1 |＋ |PF 2|)2－ 2|PF1| ·|PF 2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积． 2． 椭圆方程的求法 定义法 根据椭圆的定义确定 a2， b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．其中常用的关系有： ① b2＝ a2－ c2. ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a. ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a. 待定系数法一般步骤 ①判断：根据已知条件确定椭圆的焦点在 x 轴上， 还是在 y 轴上， 还是两个坐标轴上都有可 能． ②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程． ③列：根据题意列关于 a， b， c 的方程或者方程组． ④解：求解得到方程． x2 y2 对点练