非线性振动与线性振动对比课件.pptVIP

机械振动线性与非线性的比较;*;*;*;*;*;*;*;*;*;*;*;*;*;The motion equation ;Three Elements Amplitude, Frequency and Phase (difference);;Stiffness increase;Phase modulation stiffness increase: Amplitude-frequency ;Phase modulation stiffness increase: Amplitude-frequency ;;Phase modulation stiffness increase: Phase-frequency ;;;Phase modulation/ stiffness increase;Phase modulation stiffness increase; 非线性振动的近似解析方法; 非线性振动的近似解析方法;其中,;摄动法 ; 将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x, )在基本解(x0, )的领域内展开成泰勒级数: ; 按e 幂??整理方程，由于方程对e 的任意值均成立，并要求方程两边e 的同次幂的系数相等，因此可以导出方程各阶近似解的线性微分方程： ; 用直接展开法求解杜芬(Duffing)方程;按同次幂相等的条件得到 ;由式;由;讨论受简谐鼓励作用的准谐波系统，其微分方程为：; 设w 0为相关线性系统的固有圆频率，则得到A0与w 的关系：; 数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。 ;常用的数值分析方法 ; 在有了t 瞬时的位移 和速度 后，由满足 t 瞬时的微分方程; 欧拉法的几何意义是用折线代替曲线，计算精度较低，一般只用于起步或与其它方法配合使用。;纽马克法的积分格式：;非线性振动的数值分析方法 ;其中：; 威尔逊（Wilson）法以线性加速度法为基础，引入参数 ，在时域 范围内，假设加速度按线性规律变化，在数学上先得到 瞬时的一组方程，称为预报方程，然后再求出 瞬时的位移、速度和加速度。;当t =q D t 时，可得到t + q D t 瞬时的速度和位移;取t + q D t 瞬时的方程; 有了t + q D t 瞬时的位移可依次求出 t + D t 瞬时的加速度、速度和位移：;RungeKutta法的公式： ;非线性振动的分叉与混沌简介;分叉与混沌的根本概念 ; 该系统相轨迹随参数m 的变化而变化的情形如以下图所示： ;混沌振动 ;设上述系统的参数为：; 从图中可以看到，随着时间的变化，开始很接近的两个信号越来越分开，这就是系统对初值的敏感性，这也是混沌振动的一个根本特征，这也使得混沌振动具有长期不可预测性。 ;系统在相平面上的两条轨线图 ;Poincare映射 －刻划混沌的一个工具;系统的Poincare映射图; 混沌，指一种貌似无规那么的运动，但支配它的规律却是用确定型方程来描述的。上面提到的庞加莱在总结天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。到20世纪50年代，有些物理学家(如玻恩(M.Born))也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但混沌现象和理论开始受到重视，一般认为始于60年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的，天气长期动态却是不可预测的。另一个是，几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论。; 这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法：罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围环境有联系，在自然和工程中广泛存在)，而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、封闭的，在天体研究和统计物理中常见)。罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的。 ;Poincaré’s Note on Chaos “If we knew exactly the laws of nature and the situation of the universe at the initial moment, we could predict exactly the situation of that same universe at a succeeding momen