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2021-08-27 发布于湖北
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线性空间与线性变换练习题.pdf

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线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1．设 V { x (x , x , ,x ) R n | x x x } 是否按向量的加法和数乘构 1 2 n 1 2 n 成 R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 a b 2 2 2 ．设V R a b c d 0 是否按矩阵的加法和数乘构成 R 上的 c d 线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 3．证明 n 阶实对称矩阵全体 V 和 n 阶实反对称矩阵全体 V 均构成 R n n 的子空间， 1 2 并求它们的维数。 4 ．已知 R 4 中向量 T T a1 (1, 2, 3, 1) ， a2 (1, 1, 2, 1) ， T T a3 ( 2, 6, 1, 6) ， a4 (3, 4, 7, 1) ，求 Span{a1 , a2 , a3 , a4 } 的一个基和维数。 5．已知矩阵 1 2 1 2 A 0 1 k k (a , a , a , a ) 1 2 3 4 1 k 0 1 （1）求 A 的零空间 ( ) { 4 | } N A x R Ax 0 的基与维数；（2）求 AT 的零空间 N ( AT ) { x R 3 | AT x 0} 的基与维数（3）求 Span{a1 , a2 , a3 , a4 } 一个基和维数。 6 ．已知 R 3 中的两组基为 T T T a1 (1, 1, 1) ， a2 (1, 0, 1) ， a3 (1, 0, 1) ，和 T T T b (1, 2, 1) ，b (2, 3, 4) ，b (3, 4, 3) 。 1 2 3 （1）求向量 x (2, 2, 4)T 在基 a ， a ， a 下的坐标； 1 2 3 （2）求从基 a ， a ，a 到基 b ，b ， b 的过渡矩阵； 1 2 3 1 2 3 （3）求向量 z