初二数学.春.直升班.教师版.第9讲 梅涅劳斯定理.pdfVIP

梅涅劳斯定理 模块一 梅涅劳斯定理的应用 模块二 梅涅劳斯定理的逆定理 第九讲 梅涅劳斯定理 模块一：梅涅劳斯定理的应用 梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC 的三边AB、BC、CA 或其延长线交于F、D、E 点，那 AF BD CE 么   1．这条直线叫△ABC 的梅氏线，△ABC 叫梅氏三角形． FB DC EA 梅涅劳斯定理的证明： 证法一：如图，过C作CG//DF， DB FB EC FG ∵ ， ， DC FG AE AF AF BD CE AF FB FG ∴     1． FB DC EA FB FG AF 证法二：如图，过A 作AG//BD 交DF 的延长线于G， AF AG BD BD CE DC ∴ ， ， FB BD DC DC EA AG AF BD CE AG BD DC 三式相乘即得：     1． FB DC EA BD DC AG 证法三：如图，分别过A、B、C作DE 的垂线， 分别交于 、 、 ．则有 // // ， H H H AH BH CH 1 2 3 1 2 3 AF BD CE AH BH CH ∴   1  2  3 1． FB DC EA BH CH AH 2 3 1 模块二：梅涅劳斯定理的逆定理 梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E 分别是△ABC 的三边AB、BC、 AF BD CE CA 或其延长线的三点，如果   1，则F、D、E 三点共线． FB DC EA 例题 1 如图，在△ABC 中，AD 为中线，过点 C 任作一直线交AB 于点F，交AD 于点E，求证： AE :ED 2AF :FB ． AE DC BF 【解析】∵直线FEC 是△ABD 的梅氏线，∴   1． ED BC FA DC 1 而 ， BC 2 AE 1 BF AE 2AF ∴   1，即 ． ED 2 FA ED BF 【教师备课提示】梅氏定理的主要应用是利用梅氏定理求求比例，这道题主要考查梅氏定理的直接 应用． 初二数学目标名校直升班 例题 2 如图，在△ABC 中，AD、CE 交于点F，若AE :BE 4:5，AF DF ，求CF :FE ． 【解析】∵直线BDC 是△AEF 的梅氏线， AB EC FD ∴   1， BE CF DA 又AE :BE 4:5，AF DF ， 9 EC 1 EC 10 ∴   1，∴ ，∴CF :FE 9:1． 5 CF 2 CF 9 【教师备课提示】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏 线． 例题 3