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极值点偏移 1-2 极值点偏移判定定理
一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数 y f ( x) ，在区间 ( a, b) 上只有一个极大 （小）值点 x ，方程 f ( x) 0 的解分别为 x , x ，
0 1 2
且 a x1 x2 b ，
x1 x2
（1）若 f (x1 ) f (2x0 x2 ) ，则 ( ) x0 ，即函数 y f (x) 在区间 (x1 , x2 ) 上极（小）大值
2
点 x 右（左）偏；
0
（2 ）若 f ( x ) f (2x x ) ，则 x1 x2 ( ) x ，即函数 y f (x ) 在区间 (x , x ) 上极（小）大值
1 0 2 0 1 2
2
点 x0 右（左）偏 .
证明： （1）因为对于可导函数 y f (x) ，在区间 (a, b) 上只有一个极大 （小）值点 x ，则函数 f (x) 的
0
单调递增（减）区间为 ( , ) ，有
a x ，单调递减（增）区间为 (x , b) ，由于 a x x b x x ，且
0 0 1 2 1 0
2x x x ，又 f ( x ) f (2x x ) ，故 x ( )2x x ，所以 x1 x2 ( )x ，即函数极（小）大
0 2 0 1 0 2 1 0 2 0
2
值点 x 右（左）偏；
0
（2 ）证明略 .
x1 x2 x1 x2
左快右慢（极值点左偏 m ） 左慢右快（极值点右偏 m ）
2 2
x1 x2 x1 x2
左快右慢（极值点左偏 m ）
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