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【证法 1】( 课本的证明 )
a b b a
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a c
a b
c b
a c b c
b c
a
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a b a b
做 8 个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,再做三
个边长分别为 a,b,c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形 .
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是 a + b ,所以面积相等 . 即
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a 2 b 2
4 1 ab c2
2
4 1 ab 2
, 整理得
a 2 b 2
c 2 .
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【证法 2】( 邹元治证明 )
以 a,b 为直角边,以 c 为斜边做四个全等的直角三角形,就每个直角三角形的面积
1 ab
等于 2 . 把这四个直角三角形拼成如下列图外形,使 A,E,B 三点在一条直线上,
B,F,C 三点在一条直线上, C,G,D 三点在一条直线上 .
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∵ RtΔHAE ≌ R tΔEBF,
D b G a C
a c b
c
H
F
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b c c a
A a E b B
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∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90 o,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.
∴ ∠ HEF = 180o― 90o= 90o.
∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE ,
∴ ∠ HGD = ∠EHA .
∵ ∠ HGD + ∠GHD = 90o,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.
又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠ DHA = 90o+ 90o= 180o.
2∴ ABCD 是一个边长为 a + b的正方形,它的面积等于
2
2
a b .
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2
a b 4
∴
1 ab
2
c . ∴ a2 b 2
c 2 .
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【证法 3】( 赵爽证明 )
以 a,b 为直角边 ( ba),以 c 为斜边作四个全等直角三角形,就每个直角
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三角形的面积等于
1 ab 2
. 把这四个直角三角形拼成如下列图外形 . D
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∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠ HDA = ∠EAB .
∵ ∠ HAD + ∠ HAD = 90 o,∴ ∠EAB + ∠HAD = 90 o,
∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形,它的面积等于 c2. c b
∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. G F C
∴ EFGH 是一个边长为 b―a 的正方形,它的面积等于 A a
2 H E
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b a .
4 1 ab
∴ 2
a 2 c2
22.∴ a b
2
2
c 2 .
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B【证法 4】( 1876 年美国总统 Garfield 证明)
B
以 a,b 为直角边,以 c 为斜边作两个全等的直角三角形,就每个直角三角形的面积
1 ab
等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如下列图外形,使 A,E,B 三点在一条直线上 .
∵ RtΔEAD ≌ RtΔ CBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. C
∵ ∠AED + ∠ADE = 90 o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. D
∴ ∠ DEC = 180o― 90o= 90o. c c b
∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形, a
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它的面积等于
1 c 2
2
.又∵ ∠ DAE = 90o, ∠EBC = 90o
A b E a B
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∴ AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于
a b 2
2 .
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1 a b 2
∴ 2
1 ab 2
1 c 2 2 2
2 .∴ a b
c 2 .
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