第三讲正方形地性质与判定例题精讲和练习题及问题详解---侯老师-.pdfVIP

标准 第三讲 正方形的性质与判定 一、知识要点 1．正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2 ．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： 1 边的性质：对边平行，四条边都相等． 2 角的性质：四个角都是直角． 3 对角线性质： 两条对角线互相垂直平分且相等， ? 每条对角线平分一组 对角． 平行四边形 正 4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 矩形 方 菱形 形 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 A D 1：对角线相等的菱形是正方形 F 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 , 正方形是一种特殊的矩形 3：四边相等 , 有一个角是直角的四边形是正方形 E B C 4：一组邻边相等的矩形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 二、典型例题 例 1 如图 12-2-14 ，已知过正方形 ABCD对角线 BD上一点 P，作 PE⊥BC于 E，作 PF⊥ CD于 F．试说明 AP＝EF． 分析： 由 PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形 PECF为矩形，故有 EF＝PC，这时只需证 AP＝CP， 由正方形对角线互相垂直平分知 AP＝CP． 解： 连结 AC、PC， ∵四边形 ABCD为正方形， ∴BD垂直平分 AC， ∴AP＝CP． 文案 标准 ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ BCD＝90 °， ∴四边形 PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∴AP＝EF． 注意： ①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等． ②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中． 思考： 由上述条件是否可以得到 AP⊥EF． 提示： 可以，延长 AP 交 EF于 N，由 PE∥AB，有∠ NPE＝∠ BAN． 又∠ BAN＝∠ BCP，而∠ BCP＝∠ PFE，故∠ NPE＝∠ PFE， 而∠ PFE＋∠ PEF＝90 °，所以∠ NPE＋∠ PEF＝90 °，则 AP⊥EF． 例 2 如图 12-2-15 ，△ ABC中，∠ ABC＝90°， BD平分∠ ABC，DE⊥ BC，DF⊥AB，试说 明四边形 BEDF是正方形． 解： ∵∠ABC＝90 °， DE⊥BC， ∴DE∥AB，同理， DF∥BC， ∴BEDF是平行四边形． ∵BD平分∠ ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF． 又∵∠ ABC＝90°， BEDF是平行四边形， ∴四边形 BEDF是正方形． 思考： 还有没有其他方法？ 提示： ( 有一种方法可以证四边形