《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】.pptxVIP

直线与平面的夹角;1. 线线角、线面角的关系式 如图所示，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的_______．设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为____________________(*);在上述公式中，因0≤cos θ2≤1，所以cos θ ≤cos θ1. 因为θ1和θ都是锐角，所以θ1 ≤θ. 2. 最小角定理 _____和它在平面内的_____所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_________． 3. 直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为____． (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为___．;(3)斜线和它在平面内的_____________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)． 想一想：当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示　不一定，这条直线还可能与平面平行．;1．直线和平面所成角的理解;2．直线与平面所成角的求法 (1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解． ;公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．;题型一　用定义求线面角;∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD. ∵△BCD是正三角形， ∴O为△BCD的中心，连结OD并延长交BC于F，则F为BC的中点． 令正四面体棱长为1，;知识梳理;规律方法 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．;【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD. PD＝DC，E是PC的中点． 求EB与平面ABCD夹角的余弦值．;知识梳理;知识梳理;题型二　由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角;知识梳理;知识梳理;规律方法 公式cos θ＝cos θ1·cos θ 2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1，在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2，分别对应图形中的哪个角．;【变式2】如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为 (　　)．;解析　如图，设A在平面BPC内的射影为O， ∵∠APB＝∠APC. ∴点O在∠BPC的角平分线上， ∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角． ∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC， 即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°， 答案　D;知识梳理;【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．;【变式3】如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点． 若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．;知识梳理;方法技巧　化归与转化思想解决立体几何问题;(1)证明：直线MN∥平面OCD； (2)求异面直线AB与MD所成角的大小．;[思路分析]建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→向量运算→结论． 解　作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，;知识梳理;知识梳理;知识梳理;谢谢大家;再见