《直线与平面的夹角》示范课教学PPT课件【高中数学人教】.pptxVIP

直线与平面的夹角;知识梳理;2．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2.如图所示，OA为平面α的斜线，AB是OA的平面α内的射影，AC为平面α内过A点的任一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则 cos θ＝cos θ1·cos θ2. (1)由0cos θ21，∴cos θcos θ1，从而θ1θ，这就是最小角定理．;(2)在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0，∴θ＝90°，即当AC⊥AB时，AC⊥AO.此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则有cosθ1·cosθ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理的逆定理，由此可知三???线定理及逆定理可以看成是此公式的特例． (3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的角． 若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．;探索新知;1．如图： cos θ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中的最小角．;3．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为________。 (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为________。 (3)斜线与它在平面内的________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)。;[答案]　1．cos θ1·cos θ2 2．它在平面内的射影 3．(1)90°　(2)0°　(3)射影所成的角;[例1]　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，求BD与平面PAB所成的角。;探索新知;探索新知;[说明]　定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内射影的夹角，此种方法的关键在于确定斜线在平面内的射影。;如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点。 (1)证明：PA∥平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。;[解析]　(1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO。 ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO 而EO?平面EDB且PA?平面EDB. 所以，PA∥平面EDB;(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF. 设正方形ABCD的边长为a， ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC。 ∴EF∥PD，F为DC的中点． ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中．;探索新知;[分析]　解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG的法向量和AH的方向向量，再求两向量夹角余弦的绝对值即可。;[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，1)，A(0，4，0)，F(4，4，1)，E(4，0，2)，H(2，0，0)，;探索新知;令x＝1，则z＝－4，y＝－1. 即n＝(1，－1，－4)， 即AH与平面AFEG的夹角为θ，;探索新知;在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点。 (1)求证：CM⊥EM。 (2)求CM与平面CDE所成的角。;[解析]　以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，设EA＝a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0)。;探索新知;探索新知;[例3]　(2010·湖南理，18)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论。;探索新知;探索新知;探索新知;[点评]　本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力。;探索新知;[误解]　建立如图所示的直角坐标系，根据题意得：;探索新知;①建立适当的空间直角坐标系； ②将斜线和它在平面上的射影或者斜线和平面的法线用向量或坐标表示出来； ③利用向量的夹角公式求解．;探索新知;A．90°　　　　　　B．60° C．45° D．30° [答案]　D;[解析]　由已知O为外心，且AB⊥OC， ;2．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是 (　　) A．0°θ180° B．0°≤θ≤90° C．0°θ≤90° D．0°θ90° [答案]