概率论第三章答案.docVIP

习题三 1. 箱子里装有12只开关，其中只有2只次品，从箱中随机地取两次, 每次取一只，且设随机变量X, Y为 若第一次取得正品 若第一次取得次品 若第二次取得正品 若第二次取得次品 试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律. 解：先考虑放回抽样的情况： P2A02存詈嗚, 2 2 1 P{x=i,r = i} = -x- = -. 再考虑不放回抽样的情况 p{x =o,y = o)=—x —=—= o,y=i} =—x—, 12 11 22 12 11 33 2 10 5 2 1 1 P{X =l,y = 0} = —x—= —=l,r = 1) = —x —=—・ 12 11 33 12 11 66 X 0 1 0 15 5 22 33 1 5 33 1 66 2. 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表 示在三次中岀现正而次数与出现反而次数之差的绝对值，试写出 (X,Y)的联合分布律及边缘分布律. 解：由己知可得：X的取值可能为0, 1, 2, 3； Y的取值可能为1, 3；则由硬币出现正面和反面的概率各为卜可知 P{X=0# = 0} = 0(此种情况不可能发生; P{x = tr = 3)= o, P{X=2,y = l} = C^xixi = P{X =2 = 3} = 0 P{X =3,y = 1} = 0 P{X=3, 一 3}弓列= 3. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能 性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒 子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布. 解：由己知可得：X的取值可能为0, 1, 2, 3； Y的取值可能为0, 1, 2, 3；则 P{X =0.Y =0} = -x-x- = — , P{X =0,r = l) = C；-x-x- = - 3 3 3 27 3 3 3 9 P{X = 0.Y = 2} = C^x-x^- = -9 P{X =0,K = 31 = 1x1x1 = — 3339 3 3 3 27 P{X =i.Y = 0} = C\-x-x- = -, P{X=tY = \} = C\C\-x-x- = - 3339 3 3 3 9 P{X=l,y = 2} = C*lxlxl = l 3 3 3 3 9 P(X = l,y = 3) = 0, P{X =2,7 = 0) = Cf = | P{X =2,y = l) = C?-x-x- = - 3 3 3 9 P{X =2,Y = 2} = P{X =2,y = 3} = 0 P{X=3,Y = 0} = C^-x^x- = — 3 3 3 3 27 P{X = 3 = 1} = P{X = 3, Y = 2} = P{X = 3 = 3} = 0 则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为 4. 设（X,Y）的概率密度为 /(“)=忖6-_刃，02,2vy4, 0, 其它. 求: (1) P I (x,y) ED }，其中 D=((x,y)|xl,y3}; (2) P { (x,y) eD },其中 D= { (x,y) x+y3 }. V D={(x,y)lxl,y3} P{ (x，y) e £) = £x /(x,刃加/y = ]： [ g(6 - x - y^dxdy = | (2) VD={(x,y)lx+y3} ：・ P{(x,y)eD} = JJ/(x,刃如y = f ［律(6 — x 一 y)dxdy = 5. 设(X,Y)的概率密度为 x~ + y R , 其它 (1) 系数c； (2) (X,Y)落在圆 x2+r r2(r/?)内的概率. 解:(1)由匚匸 m，y)dxd)： = l ,得 Jf c(R - J宀b皿心=1,可求得C = — 宀畑2 (2)设 D = {(x,y)\x2 +y2 r2 ,贝 I」 P{(X,y)eD} 6. 己知随机变量X和Y的联合概率密度为 4xy\ 0 x LO y 1, 0, 其他. 求X和Y的联合分布函数. 解「••随机变量X和Y的联合概率密度为 ：•当 xvO,或 y0 时,F(x,y)=O; 当 0xVl,0 y 1 时， F(x, y) = P{X x Yy) = ££4XK7Xt/r =x2y2 当 0xl,yl 时， F(x, y) = P{Xx, Yy) = jj：^XYdXdY =x2 当 xl,OSySl 时， F(x, y) = P{X x, Y y) = J ^XYdXdY =y2 当 x 1, y 1 时， F(x, y)=P{Xx, Yy) = jj^XYdXdY =1 综上可得，X和Y的联合