高考理科数学通用版二轮专题复习专题：（二十二） 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练.docVIP

精品 Word 可修改 欢迎下载 必威体育精装版 精品 Word 欢迎下载 可修改 精品 Word 可修改 欢迎下载 专题检测（二十二） 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练 1.(2022届高三·广东五校协作体诊断考试)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段． (1)求椭圆的离心率； (2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且eq \o(AC,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程． 解：(1)由题意知，c＋eq \f(b,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(b,2)))， 所以b＝c，a2＝2b2， 所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(2),2). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)， 因为eq \o(AC,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)， 即y1＝－2y2，　① 由(1)知，椭圆方程为x2＋2y2＝2b2. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝ky－1，,x2＋2y2＝2b2))消去x， 得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0， 所以y1＋y2＝eq \f(2k,k2＋2)，　② 由①②知，y2＝－eq \f(2k,k2＋2)，y1＝eq \f(4k,k2＋2)， 因为S△AOB＝eq \f(1,2)|y1|＋eq \f(1,2)|y2|， 所以S△AOB＝3·eq \f(|k|,k2＋2)＝3·eq \f(1,\f(2,|k|)＋|k|) ≤3·eq \f(1,2\r(\f(2,|k|)·|k|))＝eq \f(3\r(2),4)， 当且仅当|k|2＝2，即k＝±eq \r(2)时取等号， 此时直线l的方程为x－eq \r(2)y＋1＝0或x＋eq \r(2)y＋1＝0. 2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－eq \f(3,4). (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求eq \o(OP,\s\up7(―→))·eq \o(OQ,\s\up7(―→))＋eq \o(MP,\s\up7(―→))·eq \o(MQ,\s\up7(―→))的取值范围． 解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2， 则k1＝eq \f(y,x＋4)，k2＝eq \f(y,x－4). 由k1k2＝－eq \f(3,4)，得eq \f(y,x＋4)·eq \f(y,x－4)＝－eq \f(3,4)， 整理得eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1. 故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1. (2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,y＝kx＋2))消去y， 得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0. 所以x1＋x2＝－eq \f(16k,4k2＋3)，x1x2＝－eq \f(32,4k2＋3). 从而，eq \o(OP,\s\up7(―→))·eq \o(OQ,\s\up7(―→))＋eq \o(MP,\s\up7(―→))·eq \o(MQ,\s\up7(―→))＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq \f(－80k2－52,4k2＋3)＝－20＋eq \f(8,4k2＋3). 所以－20＜eq \o(OP,\s\up7(―→))·eq \o(OQ,\s\up7(―→))＋eq \o(MP,\s\up7(―→))·eq \o(MQ,\s\up7(―→))≤－eq \f(52,3). 当直线PQ的斜率不存在时，eq \o(OP,\s\up7(―→))·eq \o(OQ,\s\up7(―→))＋eq \o(MP,\s\up7(―→))·eq \o(MQ,\