系统运动稳定性.ppt

* 对于定常系统，如果存在一个具有连续一 阶导数的标量函数V（x），其中V（x）=0， 满足： 则系统平衡状态为不稳定 4. 结论不稳定判别定理 (1) V(x)为正定； (2) 为正定； * 其中，f(0)=0,即原点是系统唯一的平衡状态。 非线性定常系统： 三 李亚普诺夫函数的构造方法 ----克拉索夫斯基方法 系统的雅可比矩阵为： * 定理1：对连续非线性定常系统 和围绕原点平衡态的域Ω，若 则有： 其中 * 定理2(克拉索夫斯基)：对连续非线性定常系 统和围绕原点平衡态的域Ω，原点为域内唯一 平衡态，若 则系统原点平衡态为域Ω内渐近稳定平衡态。 且 为一个李亚普诺夫函数。 * 定理3：对线性定常系统 ,A为非奇异 矩阵，若 则系统原点平衡态为大范围渐近稳定平衡态。 * 结论[特征值判据]：考虑线性定常系统 系统的每一平衡态是李亚普诺夫意义下稳定的充要 条件是：系统矩阵A的所有特征值均具有非正（负或零） 实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根； 一 线性时不变系统的特征值稳定判据 系统的唯一平衡态 是渐近稳定的充要条件是： 系统矩阵A的所有特征值均具有负实部。 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 * 对于任意一个n阶方阵A，总存在一个多项式f(s)满足f(A)=0，这样的多项式称为A的一个化零多项式。 由凯莱—哈密尔顿定理可知任意一个方阵A都是它的特征方程： 的根，即α(A)=0 ,故矩阵A的特征多项式是A的一个化零多项式。 方阵A的化零多项式不唯一，有无穷多个，在所有化零多项式中，次数最低且最高次幂项系数为1的多项式称为A的最小多项式。 最小多项式（补充）： * 定理：已知 设m(s)为adj(sI-A)中所有元素的首1最大公约式, 则 为矩阵A的最小多项式。 注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1中所有元素的最小公分母。 * 例（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性 解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷多个平衡状态。系统的平衡状态为 ，其中x1和x2为任意实数，即状态空间中x1—x2平面上的每一个点均为平衡状态。 得特征值分别为： 。 2）解系统的特征方程 零实部！！ 第5章 李雅普诺夫稳定性分析 系统运动稳定性 * 外部稳定性 通过系统的输入-输出关系来描述系统的稳定性。 内部稳定性 通过零输入下 的状态运动响 应来描述系统 的稳定性。 描述稳定性有两种方法 * 在研究运动的内部稳定性时，为体现出系统自身结构的特点，常限于研究没有外部输入作用时的系统。也就是说内部稳定性表现为系统的零输入响应，即在输入恒为零时，系统的状态演变的趋势。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的更一般性理论，不仅适用于线性定常系统，而且适用于非线性、时变系统。 * 利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性。由于间接法需要解系统微分方程，并非易事，所以间接法的应用受到了很大的限制。 李雅普诺夫第一法 （间接法） 先利用经验和技巧来构造李亚普诺夫函数，再利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性。直接法不需解系统微分方程，获得广泛应用。 李雅普诺夫第二法 （直接法） * 一 外部稳定性 对于一个因果系统，假定系统的初始条件 为零，如果对应于一个有界的p维输入u(t)， 所产生的q维输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的。也称为有界输入-有界输出 稳定(BIBO稳定)。 外部稳定性和内部稳定性 5.1 * 线性时变系统BIBO稳定判据： 对于零初始条件的线性时变系统，G(t,τ)为 其单位脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充要条 件为：存在一个有限常数k，使对于一切 ，G(t,τ)的每一个 元均满足如下关系式： * 线性定常系统BIBO稳定判据： 对于零初始条件的线性定常系统，G(t)为 其单位脉冲响应矩阵，G(s)为其传递函数矩阵， 则系统BIBO稳定的充要条件为：存在一个有限 常数k，G(t)的每一个元 均满足如下关系式： 或G(s)的所有极点均具有负实部。 * 二 内部稳定性 令外界输入u=0，初始状态任意，如果零输入响 应满足下列关系式： 则称该系统为内部稳定，或渐近稳定。 * 线性时变系统内部稳