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校本课程 数学思维与方法（一） 第一讲 数学思维的变通性 ——高中数学校本课程 一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通 的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和 解题方案。 根据数学思维变通性的主要体现， 本讲将着重进行以下几个方面的训 练： （1 ）善于观察 （2 ）善于联想 （3 ）善于将问题进行转化 （1 ）观察能力的训练 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据 题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透 过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以， 必须重视观察能力的训练， 使学生不但能用常规方法解题， 而且能根据题目的具 体特征，采用特殊方法来解题。 例 1 已知 a, b,c,d 都是实数，求证 a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d )2 . 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， y A( a, b) 1 B(c, d ) O 图 1 － 2 x 校本课程 数学思维与方法（一） 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 证明 不妨设 A (a,b), B(c,d ) 如图 1－2 － 1 所示， 则 AB (a c)2 (b d ) 2 . 2 2 2 2 OA a b , OB c d , 在 OAB 中，由三角形三边之间的关系知： OA OB AB 当且仅当 O 在 AB 上时，等号成立。 因此， a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d )2 . 例2 已知 3x 2 2 y 2 6x ，试求 x 2 y 2 的最大值。 2 2 解 由 3x 2y 6x 得 2 3 2 y x 3x . 2 2 3 2 y 0, x 3x 0, 0 x 2 . 2 2 2 2 3 2 1 2 9 又 x y x x 3x (x 3) , 2 2 2 2 2 1 2 9 当 x 2 时， x y 有最大值，最大值为 (2 3) 4. 2 2 思路分析 要求 x 2 y 2