导数中的二次求导问题.docx

2019高考数学热点难点突破技巧第03讲: 导数中的二次求导问题 【知识要点】 1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高 考考查的重 点，也是难点和必考点.利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内 容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与 方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大? 2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导” 不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数 的单调性，才能解决问题.“再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供 了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径. 【方法讲评】 方法 二次求导 使用情景 对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出? 解题步骤 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情 况，即可得到函数的单调性? 【例1】（理? 2010全国卷I第20题）已知函数 （I ）若，求的取值范围；（U ）证明： 化简得， 所以两边同乘可得，所以有，在对求导有 ，即当 〈时， 在区间上为增函数；当时， :当〈时， 0， 在区间上为减函数. 所以在时有最大值，即 .又因为 ，所以 当时，同理，当 0，即/ (x)在区间 (L物上为增函数，则 仆冒(1)二1 ,此时, 为増函数, 所以/(小/(1) = 0, 易得 也成立? 得证. ，则 题设等价于.令，则 当 时, 当 时，〉；当时 ，是的最大值点 的最大值点，所以 综上，的取值范也是 n）由（i）知，，即. 当＜ 〈时 In — - - +1 侑 0x x丿 因为 ＜ 0，所以此时 当时 所以 【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂， 思路来得 自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形 的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出 ?（2）大家一定要理解二次求导的使 用情景，是一次求导得到 之后，解答难度较大甚至解不出来.（3） 二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负 情况，即可得到函数的单调性? 【例2］设函数 （I ）若在点处的切线为，求的值；（n ）求的单调区间； （in）若，求证：在时，＞ - 【解析】（I ） ， 在点处的切线为，即在点的切线的斜率 为， ，...，???切点为, 将切点代入切线方程，得，所以， 要证：当时，〉，即证：， 令，则只需证：， 由于，（由于不等式是超越不等式，所以此处解不等式 答不出，所以要构造函数二次求导.） 设 所以函数在单调递增，又因为 设这个零点为所以在内存在唯一的零点，即在内存在唯一的零点， 设这个零点为 解答不出， 解答不出， 在单调递 .所以必须找到这个零点和零点所在区间， ，且 【点评】（1）由于不等式 是超越不等式，所以不等式 所以要构造函数二次求导.这是要二次求导的起因 2）仅得到函数 增是不够的，因为此时，所以，所以的单调性还是不知道，所以无法求 这个零点和零点的区间找到很关键很重要，直接关系到的单调性和. 反馈检测1】【2017课标II，理】已知函数 （1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且 反馈检测2］已知函数R在点处的切线方程为 1 ）求 的值；（2 ）当 时，恒成立，求实数的取值范围； 3）证明：当N，且时，? 高考数学热点难点突破技巧第03讲: 导数中二次求导问题参考答案 反馈检测1答案】（1） ；（2）证明略. 反馈检测1详细解析】（ 1) 的定义域为 ，则，则.当时，单调递减；当时，〉因为因为是单调递増.所以是的极小值点，故，综上，，所以 在有唯一零点，在 时，：当时，，当时，. ，则 ，则 .当 时，单调递减；当时，〉 因为 因为是 单调递増.所以 是的极小值点，故 ，综上， ，所以 在有唯一零点，在 时，：当时，，当时，. ，所以是的唯一极大值点. 在（0,1 ）的最大值点，由 有唯一零 等价于 ，所以 反馈检测2答案】（1）；(2) 反馈检测2答案】（1） ；(2) ；（3）见解析. 反馈检测2详细解析】（1 ）解：??? ..?直线的斜率为，且过点 2， L 1 1 L 1 , =—， a = l,o = -- 2即［ 2解得 2 令，则. 当时，，函数在上单调递增，故 从而，当时，，即函数在上单调递增，故. 因此，当时，恒成立，则. ...所求的取值范围是. 解法2：由（1 ）得 当时，恒成立，即 令，则. 方程（*