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矩阵基本性质 标准化管理处编码[BBX968T-XBB896S XXJ668-MM9N] 矩阵的基本性质 X 的单位矩阵。矩阵的第第列的元素为A 0 X 的单位矩阵。 矩阵的加减法 （1） = ± ，对应元素相加减 （2） 矩阵加减法满足的运算法则 交换律：+ = + 结合律：（ + ）+ = +（ + ） TOC \o 1-5 \h \z + = — = 矩阵的数乘 （1） = ,各元素均乘以常数 （2） 矩阵数乘满足的运算法则 数对矩阵的分配律：（+ ）= + 矩阵对数的分配律：（+ ） = + 结合律：（）=（） ?= 矩阵的乘法 (1)x ,左行右列对应元素相乘后求和为c的第 行第 列的元素 (1) （2）矩阵乘法满足的运算法则 对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 分配律：（+ ）= + 结合律：（）=（） 数乘结合律：（）=（） 4 ?矩阵的转置 ，（）=A （1）矩阵的幕：】= （2）矩阵乘法满足的运算法则 a. ( + c. d?() 5.对称矩阵::反对称矩阵:即a 5.对称矩阵: :反对称矩阵: 即a = —a （1）设，为（反）对称矩阵，则 ± 仍是（反）对称矩阵。 （2）设，为对称矩阵，则 或 仍是对称矩阵的充要条件 （3）设为（反）对称矩阵，则 也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵 + ), + ）分别是对称矩阵和反对称矩阵 6. Hermite 矩阵: =a ；反 Hermite 矩阵, 即a = —a a. = (A) b. ( + c. d?() e. f?()一 （当 矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若 ，则，（）￡ *是正交矩阵 (1) (2) det =±1 8.酉矩阵：若 ，则，（）E x是酉矩阵 (1) (2) I det I = 1 (3) 9.正规矩阵：若 ■则是正规矩阵：若 ，则是实正规矩阵 10 .矩阵的迹和行列式 ( (1) ( ) = ￡ = =￡ = 为矩阵的迹：| |或det?()为行列式 (2) )= ();注：矩阵乘法不满足交换律 (3) )=()=() = \ 为酉矩阵，则 ()= TOC \o 1-5 \h \z | + | = | + | + | | = | | ⑻ I 1= I I (9) | | = | || | (10) det? ( + ) = det?( + ) ⑴)丨i = n = 则 =￡ 则 =￡ =1iog(i + - )其中 (12) = log[det( + ，)], 为’奇异分解值的特征值 矩阵的伴随矩阵- 设=( ｝由行列式I I的代数余子式 所构成的矩阵 ?=?=!! 矩阵的逆(逆矩阵是唯一的) A的逆矩阵记作-， -=-=; | |*0(为非奇矩阵)时，- =口 * | |^0且 *0.则(- 由 =,得()_ = - ()=(-) 若| 丨尹 0, | - | =— 若 是非奇上(下)三角矩阵，则-也上(下)三角矩阵 -=( -) ( — + - )- — = ( + ) ( + )_ 12.对角矩阵，矩阵 为对称矩阵，正交矩阵，则- = （?,）为 对角矩阵或一 = = (?, )=A,姻=A = 2 = ；-=A-」=￡ =丄 (11) (11) Woodbury 恒等式:(+ ）一 矩阵的导数 （1）厂（） = - + - i (2).(-)=- -z_ _ ⑶ § 1 1 = (-H ⑷宀 （ )= （8）；（ )=(+ ) ⑼二 11 = (-)