数列型不等式的证明.docx

文档来源为 : 文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 . PAGE 10 PAGE 10文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 . 数列型不等式证明的常用方法一． 放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多 省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从 下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧， 例如 归一技巧、 抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参考. 归一技巧 归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或 若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转化为 同一个式子 （或数值） ，既达到放缩的目的，使新的和式容易求和 . 归一技巧有 整体归一、分段归一。 1 例如 设n 是正整数，求证 2 1 1 n 1 n 2 1 2n 1． 1 1 1 1 1 1 1 1 【证明】 n 1 n 2 2n 2n 2n  n 个 1 2n 2n 2n 2 . 1 1 1 1 1 1 1 另外： n 1 n 2 2n n n n n 1 . n个 1 n 【说明】在这个证明中，第一次我们把 1 n 1 、 1 n 2 、 1 2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 1 2n ，此时式子同时变小， 1 1 1 1 顺利把不易求和的 变成了 n 个 的 n 1 n 2 2n 2n 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和， 这就是“归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似 . 整体归一 放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” . 例 1. 数列 an 的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和，对于任 意 n N * ，总有 a , S , a 2 成等差数列 . ( Ⅰ ) 求数列 an ( Ⅱ ) 设数列 bn n n n 的通项公式； 的前 n 项和为 Tn  ，且 bn  ln n x an  2，求证 : 对 2 任意实数 x 1, e （ e 是常数， e＝ 2.71828 ）和任意正 2整数 n ，总有 Tn 2 ； 2 （Ⅰ）解：由已知：对于 n N * ，总有 2Sn an an ①成立 ∴ 2S a a 2 （n ≥ 2 ）② a22n 1 n 1 n 1 a 2 2 ① -- ②得 2an an n an 1 an 1 ∴ an an 1 an an 1 an an 1 ∵ an , an 1 均为正数， ∴ an an 1 1 （n ≥ 2） 2∴数列 2 an 是公差为 1 的等差数列 又 n=1 时， 2S1 a1 a1 ， 解得 a1 =1 ∴ an n .( n N * ) （Ⅱ）证明：∵对任意实数 x 1, e 和任意正整数 n，总有 bln n x 1 b n 2 ≤ 2  . （ 放缩通项， 整体归一 ） an n T 1 1  1 1 1 1 1 ∴ n 12 22 n2 1 2 2 3 n 1n （ 放缩通项， 裂项求和 ） 例 2. 已知数列 an 中的相邻两项 a2 k 1，a2 k 是关于 x 的方程 x2 (3k 2k ) x 3k 2k 0 的两个根，且 a2k 1 ≤ a2k (k 1，2，3， ) ． （ I ）求 a1 ， a2 ， a3 ， a7 ； （ II ）求数列 an 的前 2n项和 S2 n ； f (n) 1 sin n 3 （Ⅲ）记 2 sin n ， ( 1) f (2) ( 1) f (3) ( 1) f (4) ( 1)f ( n 1) Tn a a a a a a a a ， 1 2 3 4 5 6 2n 1 2n 1 求证： 6 ≤ Tn ≤ 5 (n 24 N* ) 【分析】（ 1）略. a1 2 ； a3 4 ； a5 8时； a7 12 ． （ II ）略. S2 n 3n2 3n 2 2n 1 2 ． （ III ）本题应注意到以下三点， ① f (n) {1, 2} ，且 f (n) 具有周期性 . f (n) {1, 2} ， 这就有 ( 1) f ( n) { 1, 1} ， f (n) 虽有周期性，可周期为 2 . ( 1)f (n 1) 这就使当 n很大时，和式通项 a a 的符号增加了不确定 2n 1 2n n性. n n②很显然，当 n n 4 时， a2 n 1 3n ， a2 n 2 ；当 n 3 时， 1 a2n 1 2 ，