(完整word版)实变函数期末考试卷A卷.docVIP

实变函数 一、 判断题（每题 2 分，共 20 分） 1. 若 A是B的真子集，则必有 A B。 （×） 2. 必有比 a 小的基数。 （√） 3. 一个点不是 E 的聚点必不是 E 的内点。 （√） 4. 无限个开集的交必是开集。 （×） 5. 若 E ，则 m* E 0 。 （×） 6. 任何集 E Rn 都有外测度。 （√） 7. 两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8. 可测集的所有子集都可测。 （×） 若 f (x) 在可测集 E 上可测，则 f ( x) 在 E 的任意子集上也可测。（×） 10. f (x) 在 E 上可积必积分存在。 （×） 1. 设E为点集， P E，则 P是E的外点.（ × ） 2. 不可数个闭集的交集仍是闭集 . （ × ） 3. 设 En 是一列可测 集 , 且 En 1 En , n 1,2, , 则 m( En ) lim m(En ).（× ） n n 1 4. 单调集列一定收敛 . （√ ） 5. 若 f (x) 在 E 上可测 , 则存在 F 型集 F E, m( E F ) 0 , f (x) 在 F 上连续.（ × ） １ 二、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1. 设 B 是 R1 中无理数集，则 B c 。 2.设A 1,1,1, , 1 , R1，则 A0 ， A 2 3 n {0} 。 3. 设 An 1 , 1 0,1,2, ，则 An ( 1,1) ， An ( ), n n 1 n 1 n 0 n 1 {0} 。 4. 有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5. 设 E 是 [ 0,1] 上的 Cantor 集，则 mE 0 。 6. 设 A 是闭集， B 是开集，则 A B 是 闭 集。 7. 闭区间 [ a,b] 上的有界函数 f ( x) Rimann 可积的充要条件是 f ( x) 是 [ a, b] 上的几乎处处的连续函数 。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是 Lebesgue 可积的。 得分 阅卷人 三、计算题（每题 10 分，共 20 分） 1 1 nx 2 sin 3 nxdx 。（提示：使用 Lebesgue 控制收敛定 1. 计算 lim (R) 2 2 n 0 1 n x 理） 1 解：设 f n ( x) nx 2 sin 3 nx (n 1,2, ) ，则 1 n2 x2 （1） 因 f n ( x) 在 [ 0,1] 上连续，所以是可测的； （2） lim ( ) 0, [0,1] ； n f n x x ２ （3）因为 1 1 1 nx 2 2 sin 3 nx nx 2 nx2 1 1 n 2 x 1 n 2 x 2 2nx F (x) 2 x 显然 F (x) 在 [0,1] 上可积。于是由 Lebesgue 控制收敛定理，有 1 1 lim (R) 1 nx 2 sin 3 nxdx lim ( L) 1 nx 2 sin 3 nxdx 0 n 0 1 n 2 x 2 n 0 1 n 2 x 2 为大于 的无理数 ; x, x 1 2. 设 f ( x) 2 为小于 的无理数；试计算 f (x)dx 。 [0,2] 0, x为有理数， 解：因为有理数集的测度为零，所以 f (x) x 2 a.e. 于 [ 0,1] ， f (x) x a.e. 于 [1,2] 。 于是 f ( x) dx f ( x) dx f ( x)dx [ 0,2] [0,1] [1, 2] x2 dx xdx 1 3 11 1 2 0 1 3 2 6 四、证明题（每题 8 分，共 40 分） 1. 证明： A ( An ) ( A An ) n 1 n 1 ３ 证明： A ( A ) A ( A ) c n n n 1 n 1 A ( Anc ) n 1 = ( A An c ) n 1 ( A An ) 1 设 M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明 是至多可列集。 证明：由有理数集的稠密性可知， 每一个开区间中至少有一个有理数， 从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合 A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集 A 与开区间组成的集合 M是一一对应的。则 A 是有理数集的子集，故至多可列，所以 M也是至多可列集。 证明：若 m E 0 ，则 E 为可测集。 证明：对任意点集 T ，显然成立着 m T m ( E ) m ( T E c ) 。 T 另一方面，因为 m E 0，而 T E E ，所以 m (T E) m E ，于 是 m (T E