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人大附中2005-2006学年度第一学期高二数学期末测试 一．单项选择题. 1.椭圆 上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（?? ? ） A．5????????? B．7????????? C．8??????????? D．10 2.如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（??? ）A． ????????? B．（0，2）??????? C． ?????????? D．（0，1） 3. 椭圆 与 的关系为（??? ） A．有相等的长、短轴??B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．有相同的准线 4. 方程 所表示的曲线为 ． 　　①若曲线 为椭圆，则 ；②若曲线 为双曲线，则 或 ；③曲线 不可能是圆；④若曲线 表示焦点在 轴上椭圆，则 以上命题正确的是（??? ?? ） A．②③????????? B．①④????????? C．②④?????????? D．①②④ 5. 设双曲线 的一条准线与两条渐近线交于 、 两点，相应焦点为 ，若 为正三角形，则双曲线的离心率为（????? ） 　　A． B．3　　C． D．2 6. 已知抛物线 的焦点为 ，定点 ，在此抛物线上求一点 ，使 最小，则 点坐标为（ ） 　　A． ? B． ? C． ?? D． 7. 动点 到点 的距离比到直线 的距离小2，则动点 的轨迹方程为（ ）A． ?? B． ?? C． ?? D．? 8. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二．填空题. 9.如果椭圆 与双曲线 的焦点相同，那么 ． 10. 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______． 11. 斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于两点 、 ，则线段 的长是____． 12. 抛物线形拱桥，当水面宽 时，水面离拱顶为 ，若水下降 ，则此时水面宽为___________. 三．解答题. 13. 已知双曲线与椭圆 共焦点，它的一条渐近线方程为 ，求双曲线的方程． 　　　 14． 已知动圆 过定点 ，并且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程． 　 15. 已知椭圆 及直线 ．（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程． 　　 16．设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (Ⅱ)(文)当时，求直线的方程. (Ⅱ)(理)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围. 2005-2006学年度第一学期高二数学期末测试参考答案 一．单项选择题. 1.B 2.D 3.B 4. C 5.D 6.C 7.D 8.D 二．填空题. 9. 1 10. 11. 8 12. 三．解答题. 13. 　　　解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为 ，则另一条为 ．可设双曲线方程为 即 　　由椭圆方程 可知 　　双曲线与椭圆共焦点，则 ? ∴ ． 　　故所求双曲线方程为 ． 　　解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 　　由渐近线方程 可得 ?? ∴ 　　故所求双曲线方程为 　　点评：1．渐近线为 的双曲线方程可表示为 14． 　　　　解：设动圆 和定圆 内切于点 ．动点 到两定点，即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，即 ． 　　∴点 的轨迹是以 ， 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为 的椭圆的方程： ． 　　说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 15. 　　解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 　　，即 ． 　　， 　　解得 ． 　　（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， ． 　　根据弦长公式得 　　 ． 　　解得 ． 　　因此，所求直线的方程为 ． 　　说明? 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 16． 解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0， ∴上述条件等价于 ∵， ∴上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F. 另解：（Ⅰ）∵抛物线，即， ∴焦点为………………………………………………………1分 （1）直线的斜率不存