人教版初二数学下册正方形、梯形知识点总结及例题.pdfVIP

正方形 一周强化 一、一周知识概述 、正方形的定义及性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形． 从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形） ，又是一种特 殊的菱形（有一个角是直角的菱形） ，因此它具有矩形和菱形的所有性质． 正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形． 、正方形的判定 从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形． 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形． 、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图． 二、重难点知识归纳 正方形的判定和性质的综合运用是重点． 几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点． 三、例题解析 、利用正方形对角线的性质解题 例、 如图，在正方形中，点、在上，且．请猜测四边形的形状，并对你的猜测给出合理 的说明． 解： 四边形为菱形．理由如下： 连结交于点． ∵四边形为正方形， ∴，， 又，∴． ∴四边形是平行四边形．又∵⊥ ∴四边形为菱形 点拨： 正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，会为解题带来很多方便． 例、 如图，正方形的对角线交于点，是上任一点，⊥于点，交于点．求证： ． 证明： ∵四边形为正方形， ∴对角线、互相垂直平分于点，即，⊥． 又⊥，∴∠∠． ∴∠∠∠． ∴△≌△，∴． 点拨： 这里主要是应用正方形对角线互相垂直平分来破题的． 、利用正方形的轴对称性解题 例、 如图，已知、分别是正方形的边、上的点， 、分别与对角线相交于点、 ．若∠ °，求 ∠＋∠的度数． 解： 在四边形中， ∵∠ °，∠ °， ∴∠＋∠ °－（ °＋°）°． ∵与、与均关于直线对称， ∴∠∠ °，∴∠＋∠ °． 又五边形内角和为 °， ∴∠＋∠ °－( ∠＋∠ ) －(∠＋∠ )－∠ °－ °－ °－ °°． 点拨： 利用正方形的对称性作角和线段的转化十分快捷，如图中∠∠，∠∠， ，等． 例、 已知，如图，在正方形中，点在上． 解： （）∵点在上，点、关于对称，∴． （）能用文字概括为 “正方形一条对角线上的一点和另一条对角线的两端距离相等 ”． （）能．证明：连结，由（）可知， 又∵⊥，⊥，∴∠∠ °． 又∵∠ °，∴四边形是矩形， ∴，∴． 点拨： 该题 （）的结论是一个常用到的正方形的性质， 也可用对称的知识或证△≌△得到， 在例中该图已经出现过； 第 （）小题的证明思路是， 抓住正方形是轴对称图形这一特点， 把正方形沿对称轴翻折，使翻折到，把要证转化为只要证，从而达到把分散的条件集中 到一块的目的． 、利用旋转法解决有关正方形问题 例、 如图，正方形的边长，为上一点，连结，作⊥交的延长线于点，作⊥交于点．若， 求的长． 解： △绕点旋转 °后可以得到△， ∴△≌△． ∴． ∴ ． 点拨： 分析条件⊥，⊥， ，于是可以将△旋转，旋转实质还是两个三角形全等． 例、 如图，在一正方形花池内需要装一只喷头，且满足︰︰︰︰．求∠的度数． 解： 将△绕点顺时针旋转 °得△ ′，连结 ′． ∵︰︰︰︰， ∴可设 ′， ′，． 又△ ′为等腰直角三角形，