高三数学第一轮复习：抛物线定义、性质及.pdfVIP

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 【本讲主要内容 】 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点 和一条直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线，定点 不在定直 线 上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率 e ）不同，当 e ＝ 1 时为抛物线，当 0e1 时为椭圆，当 e1 时为双曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表） ： 其中 为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线 上的点的坐标可设为 ，以简化运算。 4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 ，直线 与 的斜率分 别为 ，直线 的倾斜角为 ，则有 ， ， ， ， ， ， 。 说明： 1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】 例 1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，且与圆 相交的公共弦长等于 ，求此抛物线的方程。 解析： 设所求抛物线的方程为 或 设交点 （y 1 0 ） 1 / 7 则 ，∴ ，代入 得 ∴点 在 上， 在 上 ∴ 或 ，∴ 故所求抛物线方程为 或 。 例 2. 设抛物线 的焦点为 ，经过 的直线交抛物线于 两点，点 在抛物线的准线上， 且 ∥ 轴，证明直线 经过原点。 解析： 证法一：由题意知抛物线的焦点 故可设过焦点 的直线 的方程为 由 ，消去 得 设 ，则 ∵ ∥ 轴，且 在准线 上 ∴ 点坐标为 于是直线 的方程为 要证明 经过原点，只需证明 ，即证 注意到 知上式成立，故直线 经过原点。 证 法 二 ： 同 上 得 。 又 ∵ ∥ 轴 ， 且 在 准 线 上 ， ∴ 点 坐 标 为 。 于 是 ，知 三点共线，从而直线 经过原点。 证法三：如图， 2 / 7 设 轴与抛物线准线 交于点 ，过 作 ， 是垂足 则 ∥ ∥ ，连结 交 于点 ，则 又根据抛物线的几何性质， ∴ 因此点 是 的中点，即 与原点 重合，∴直线 经过原点 。 评述： 本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用 了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。 【考点突破