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方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 解 第二节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、向量的坐标表示 四、小结 思考题 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. | | 向量的模： 向量的大小. 单位向量： 一、向量的概念 或 或 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 起点是坐标原点，终点是 点的向量 称为点 的向径. [1] 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 1.向量的加减法 二、向量的线形运算 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 2.向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 三、向量坐标的表示 1.向量坐标的概念 向量 在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标： 向量的坐标表达式： 特殊地： 2.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 解 设 为直线上的点， 由题意知： M称为有向线段的定比分点,当 时M是A与B的中点，它的坐标为 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 3.向量的模与方向余弦的坐标表示式 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式