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定理 2.对坐标的曲线积分的计算 特殊情形 * *(4) 两类曲线积分之间的联系： 其中 （可以推广到空间曲线上 ） 可用向量表示 有向曲线元； 例5 解 例6 解 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 例7 解 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. 第五节 曲线积分 一、对弧长的曲线积分 二、对坐标的曲线积分 三、小结 思考题 一、对弧长的曲线积分 问题的提出 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 1. 定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 存在条件： *推广 性质 （ 为常数） 2. 对弧长曲线积分的计算 定理 注意: 特殊情形 *推广: 例1 解 例2 解 *例3 解 *例4 解 由对称性, 知 3.几何与物理意义 问题的提出 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割 二、对坐标的曲线积分 求和 取极限 近似值 精确值 1.定义 类似地定义 存在条件： . , ) , ( ), , ( 第二类曲线积分存在 上连续时 在光滑曲线弧 当 L y x Q y x P 组合形式 *推广 性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 线形性质还是成立的。