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第五节 导数在经济中的应用 一、边际的概念 二、弹性的概念 一、边际的概念 1.成本与边际成本 设Q为产品的产量， 是总成本 函数，则它的导函数就称为边际成本函数，记为 例1 某工厂生产Q个单位产品时的总成本 为产量Q的函数 试求（1）生产900个单位产品时的总成本与平均成本； （2）生产900个单位产品生产1000个单位产品时的总成本的平均变化率； （3）生产900个单位产品时的边际成本。 （1）生产900个单位产品时的总成本为 而平均成本为 （2）生产900个单位产品生产1000个单位产品时的总成本的平均变化率为 （3）生产900个单位产品时的边际成本为 2.收益与边际效益 设Q是出售的产品的数量，p是售价，则总收益函数为 再设需求函数为 ，其反函数为 则总收益函数又可以表示为 于是边际收益函数为 例2 设某种商品的需求函数为， 其中p为价格，Q为销售量。 试求： （1）销售量为15单位时的总收益、平均收益与边际收益 ； （2）销售量从15单位增加到20单位时收益的平均变化率。 解：总收益函数为 于是，（1）销售量为15单位时的总收益为 平均收益为 边际收益为 （2）当销售量从15单位增加到20单位时收益的平均变化率为 3.利润与边际利润 在产销均衡是，总利润函数为 于是边际利润函数为 例3 在产销均衡时，某工厂生产某种产品每周的总利润与每周的产销量之间的函数关系如下 试求：每周产销10，20，25单位产品时的边际利润，并说明其经济意义。 解 边际利润函数为 于是有 上述结果分别说明：如果每周在产销10单位产品时，，再增产销一个单位产品，其总利润将增加80（利润计量单位）；如果每周在产销20单位产品时，再增产销一个单位产品，则总利润没有增加；如果每周在产销25单位产品时，再增产销一个单位产品，总利润反而减少40（利润计量单位）。 二、弹性的概念 如果当 时， 的极限存在，那么就称此 极限值为函数 在点 处的（点）弹性，记为 ，即 故，当 在 处可导， 在点 处的弹性就一直存在，且有 一般而言，如果 在区间I内可导，那么 也是 的函数，称为函数 的弹性函数。 例4 取函数 则 而 相应的 这表明当 从 增至 时， 增加了25%，而相应地 从 增至 ， 增加了56.25%。 又有 ，这表明当 在 到 的范围之内，每增1%时，相应的 平 均增加2.25% 。 函数 在点 处的弹性 这表明在点 的附近，有1%的微小改变时相 应的y有2%的微小改变。 又表明了 与 的变化方向一致。 1.需求弹性 设需求函数为 ,该函数是减函数,故 0,称 为需求价格弹性或 简称需求弹性.