基于“最近发展区”的等比数列前n项和公式教学精品.docVIP

第 PAGE 页 基于“最近发展区”等比数列前n项与公式教学 　　■“最近发展区”概念及意义 　　“最近发展区”是苏联教育家维果茨基提出，它是指现有水平与潜在发展水平之间幅度. “最近发展区”“最近”是基点，“发展”是目标. 维果茨基认为至少可以确定学生有两个发展水平，第一个是现有发展水平，是由已经完成发展程序结果形成心理技能发展水平，表现为学生能独立地、自如地完成教师提出智力任务；第二个是潜在发展水平，是那些尚处于形成状态，表现为学生还不能独立地完成任务，但在教师帮助下，在集体活动中，通过训练与自己努力能够完成. 这两个水平之间幅度即为“最近发展区”. 如图1所示，数学课堂教学若想利用好“最近发展区”，则需要教师准确把握学生对新学习内容现有水平与潜在水平有机螺旋上升关系，推动学生不断积累知识与发展数学思维. 　　“最近发展区”理论指导下教学是知识自然发展过程，与当下颇受重视数学史融入高中数学教材有异曲同工之处. 当代学生学习知识顺序以及知识储备，使得老师们可以从更宽阔视角实现知识自然发展过程，甚至突破历史，实现创新. 正如课程标准十大基本理念之一：教学应通过各种不同形式自主学习、剖析活动，让学生体验数学发现与创造历程，发展他们创新意识. 　　■教学内容简述 　　教材中，等比数列前n项与公式教学从国际象棋棋盘上小麦数量具体等比求与问题开始，符合特殊到一般思维发展过程. 紧接着研究一般等比数列求与问题，直接进入技巧性较强错位相减法学习，这样编排给了老师们很大发挥空间，帮助学生实现知识“鸿沟”跨越. 　　本节课发展目标包括知识目标与方法目标，知识目标是等比数列前n项与公式，方法目标是推导与证明公式方法，包括错位相减法、裂项相消法等. 实现发展目标基点是学生学过与等比数列求与有关知识. 例如，从特殊到一般思想方法出发，可以以归纳猜想为基点；从研究数列思维方法角度出发，把Sn看成是一个新数列通项，可以以探寻与Sn有关递推关系为基点，这不仅能引导学生实现知识与思维发展，还可以探寻历史方法本质联系；从多项式化简角度出发，可以以因式分解与运算律为基点等，本文就试图从该角度出发，应用“最近发展区”，实现学生知识与思维发展. 　　■教学设计与实施 　　1. 引入与归纳 　　引例：国王要奖赏国际象棋发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放麦粒数都是前一个格子里放麦粒数2倍，直到第64个格子.” 请大家帮国王算算需要给发明者多少粒麦子？ 　　生：国王需要给发明者麦粒数为S64=1+2+22+23+…+263. 　　师：如何求这个等比例数列前64项与？ 　　生：从特殊情况入手，找规律. 　　教师让学生计算归纳，完成表1第3行. 　　表1 　　通过学生活动，得到具体等比数列求与问题结果S64=1+2+22+23+…+263=264-1. 　　设计意图：数学学习是具体到抽象、特殊到一般过程. 在该具体问题中，学生具备相关运算及归纳猜想能力，通过思考、计算、归纳猜想得到问题结果，是学生现有水平?w现，为课堂发展做好铺垫. 　　2. 剖析与发现 　　等比数列求与问题：已知等比数列{an}首项为a1，公比为q，求数列{an}前n项与Sn. 　　教师给出问题，并根据前n项与定义Sn=a1+a2+a3+…+an，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）. 因此，要求Sn，只需求Tn=1+q+q2+…+qn-1，Tn求解可以是一个特殊多项式化简过程. 　　师：请大家按照由特殊到一般归纳过程，联系初中所学平方差、立方差公式，完成表2第三行. 　　表2 　　师：请大家说说表2中，T2与T3怎么填写？ 　　生：n=2时，由1-q2=（1-q）（1+q），得1+q=■. n=3时，由1-q3=（1-q）（1+q+q2），得1+q+q2=■. 　　师：有没有需要完善地方？ 　　生：在除以1-q之前，需要注意它是否为0，所以q≠1时，T2=■，T3=■；q=1时，T2=2，T3=3. 　　师：根据T2与T3，大家归纳Tn怎么填写？ 　　生：Tn=■（q≠1），n（q=1）. 　　师：很好，这样我们便有了Sn=■（q≠1），na1（q=1）， 我们猜想公式是否正确？如何证明？ 　　设计意图：这里用与引例相似方式进行等比数列求与公式研究，学生具备平方差、立方差公式及归纳猜想能力. 学生现有水平是能够分别由平方差、立方差公式得到T2、T3，潜在水平是归纳并发现Tn . 其本质就是把平方差、立方差公式从二、三维推广至n维公式1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）过程. 该过程