尺度函数与小波的构造.docxVIP

§ 框架 在第一章中, 那么我们可以从 如果我们将参数 第三章尺度函数与小波的构造 我们将小波变换定义为 Wf a,b 1 Ja 上 x b f x a - 2 么上述变换和反变换函数 x满足0 dx , a R ,b R （3.1） 2 ? 1 -d -C (3.2) L2 R的小波变换 Wf a,b重构 fx C2 Wf a,b 0 0 1 x b db 、a a da 2 a (3.3) a m a° , a° 1, m Z，相应的 b n b°am ,n Z，那 1 x b ? a a 将为 m/2 m . x a° a° x nb° (3.4) b离散化，令 mn ab X 也就是说，我们可以计算连续小波变换的离散值 Wf a0m,nb0am a0 m/2 x a0 mx nb0 dx mn (3.5) 现在的问题是，离散化时我们是否丢失了某些关于信号的信息，或者说，我们是否可以从 这些离散值重构信号。在多分辨率逼近中，我们讨论了一种最典型的情况， a。 2 2 mn,m, n Z 构成L R的正交归一基。现在我们打算一般性地讨论这个问题。 在多尺度边缘检测中，我们已放松了对正交性的要求。 根据我们即将介绍的框架理论，如存在 基。 A 0,B 使 则我们说集 A|f『|（ f, m,n mn；m,n Z2为一个框架。 mn )2 Bfl2, f x L2 R 2,bo 1 且 实际上, (3.6) 这样我们可以构造一个数值稳定的算法，从小波 系数 f, mn.,m,n Z2重构f x。不难验证，我们在多分辨率逼近中引入的小波级数 只不过是 (3.6)式中A=B=1的特殊情况。 框架 若存在 0,B 使得i,I J满足 Af2 (f，J2 Bf2, (3.7) 则我们称 i,l J构成希尔伯特空间的一个框架。其中 A， B称为框架界。 则我们称之为紧框架。若 A = B = 1,且 1，那么框架就是正交归 甘 基。 这一结论很容易证明，令 (3.7)式中f k，则有 由于k2 1，I 4 1，故上式中 0。意味着,k, I 0 ,对于 即构成框架的矢量是两两正交的。 由此可以看到，正交归一基确实只是框架的一种特殊情况。对于正交归一基，重构很 简单 f x .f, L I (3.8) I J 上式就是我们提到的广义傅里叶级数，但对于一般的框架而言，重构问题要复杂的多。 二、 对偶框架 首先引入对称算子的定义： 对任意的f L2 R，若..「f , f T2 f, f.,则我们称 2 「和T2为L R上的对称算子，且将不等式表示为 T1 T2。 2 2 2 可以看到，框架实际上是定义了一个从 L R到丨的映射，即将任意的 f L R映 射称为一个平方可和的序列 f, i .,I J。我们用 T : L2 R I2 T表示之，并称 T为框架算子。 2 对于任意一个平方可和序列C Ci,I j I2 J ,也可映射为一个函数 T C Ci l J i, T 2 2 :l J L R， 我们称T为T的伴随算子。 显然， T T是 2 2 一个从L R到L R的算子。因为对任意的 f 2 L R，我们有 T T T (f, J,l J J (f, l) l (3.9) 由上式可得 .2 (f, JI (T Tff (仁 W, J e J l J 从而根据对称算子的定义，我们可以将定义框架的不等式改写为 AI TT BI I为单位算子。 (3.10) 1 上式说明，对称算子 T T是有界的，故可定义其逆算子 T T ，且逆算子满足 1 1 1 B 1| T T A 1| (3.11) 1 ~ 1 由逆算子 T T 及不等式(3.11),我们就可以定义对偶框架：定义 i T T i，则 ~,l J构成另一个框架，我们称其为 i,l J的对偶框架。由(3.11)式可见，~,| J 1 1 确实构成一个框架， 且其框架界为B 1和A 1。对于对偶框架，我们也可以相应地定义框架 算子T和它的伴随算子T。框架算子〒定义为 1 T T T T (3.12) 而且，可以证明： ?? 1 ~ ? T T T T T ， T T T T I (3.13) ? ?。 其中，T T TT是l J到T的值域的正交投影算子。 为什么我们要引入对偶框架呢？由 (3.13)式〒T I可得■?Tf f，从而 f T Tf T 《f, | ),1 J (f, J i (3.14) l J 上式告诉我们，如｛ |,l J｝构成一个堆积，那么任一 f L2(R)都可由它的内 积系数:f, i,l J充分描述。因为可以按 (3.14)式由这些内积系数去重构 f。由 i i i i (3.15) 1 1 T T I，可得 (3.14)和(3.15)式还说明对偶关系是相互的