中学初三数学复习总结计划mdash;mdash;几何论证题中辅助线的添加方法总结计划.docxVIP

初三数学复习——几何论证题中辅助线的添加方法 （一）辅助线的添加方法 正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅 助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线： 例 1．已知：在△ ABC中， AD是 BC边的中线， E 是 AD的中点， F 是 BE延长线与 AC的交点， 求证： AF=1 FC A 2 F 分析：题设中含有 D 是 BC 中点， E 是 AD M E 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 B D C 切联系的中位线，所以，可有如下 2 种辅助线作法： （1 ）过 D 点作 DN ∥CA ，交 BF 于 N ，可得 N 为 BF 中点，由中位线定理得 1 DN= FC ，再 证△AEF≌△DEN ，则有 AF=DN ，进而有 AF= 1 FC 2 2 1 （2 ）过 D 点作 DM ∥BF，交 AC 于 M ，可得 FM=CM ，FM=AF ，则有 AF= FC 2 A 方法二：分析结论，作出辅助线 E F N 例 2：如图， AD是△ ABC的高， AE是△ ABC的外接圆直径， M 求证： AB· AC=AE·AD B D C 分析：要证 AB ·AC=AE ·AD ，需证 AB AE AD AC （或 AB AD ），需证△ABE∽△ADC （或△ABD ∽△AEC）， AE AC A 这就需要连结 BE（或 CE），形成所需要的三角形，同时 得 ∠ABE= ∠ADC=90 0(或∠ADB= ∠ACE=90 0)又∠E=∠C（或 ∠B= ∠E） B D C 因而得证。 E 方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线 例 3：过△ ABC的顶点 C任作一直线，与边 AB及中线 AD分别交于点 F 和 E； 求证： AE∶ ED=2AF∶FB 分析：已知 D 是 BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线； 若要出现结论中的 AE∶ED，则应有一条与 EF 平行的直线。所以，过 D 点作 DM ∥EF 交 AB 于 M，可得 AE AF 2AF ，再证 BF=2FM 即可。 ED FM 2FM 方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。 例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线： 1）有弦，作“垂直于弦的直径” 例 4：已知，如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB交小圆于 C、D 两点，求证： AC=BD 分析：过 O点作 OE⊥ AB于 E，则 AE=BE， CE=DE，即可证得 AC=BD （2）有直径，构成直径上的圆周角（直角） 例 5：已知：如图，以△ ABC的 AC边为直径， 作⊙ O交 BC、BA于 D、E 两点，且 CD DE ，求证：∠ B=∠C  O · B A C E D 分析：连结 AD，由于 AC为直径，则有 AD⊥BC，又 CD DE ，有∠ 1=∠ 2，由内角和定理得 A E12O · B D C ∠B=∠C （3）见切线，连半径，证垂直 例 6：如图， AB为⊙ O的直径， C为⊙ O上一点， AD和过直，垂足为 D，求证： AC平分∠ DAB 分析：连结 OC，由于 CD为切线，可知 OC⊥ CD，易证：∠ 1=∠2，又因为∠ 2=∠3，  D C C 点的切线互相垂 1 2 B A 3 · O 所以∠ 1=∠ 3，则可得 AC平分∠ DAB （4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 例 7：已知，直线 AB经过⊙ O上的一点，并且 OA=OB，CA=CB；求证：直线 AB是⊙ O的切线 分析：连结 OC，要证 AB是⊙ O的切线， 需证 OC⊥ AB，由已知可证△ OAC≌△ OBC， 0 可得∠ OCA=∠OCB=90，结论得证。  O A C B 例 8：已知，梯形 ABCD中， AB∥CD，∠ A=900，BC是⊙ O的直径， BC=CD+AB， 求证： AD是⊙ O的切线 分析：过 O点作 OE⊥AD，垂足为 E， 要证 AD是⊙ O的切线，只要证 OE是⊙ O的半径即可， 也就是说需要证 OE=1 BC ，由于∠ A=900，AB∥ CD，可得 AB∥ CD∥OE，再由平行线等分线段定 2 理得 DE=EA，进而由梯形中位线定理得 OE= AB CD 1 BC ，所以 点在⊙ 上， 是⊙ 1 ( ) E OAD O 2 2 的切线。 二）练习 1、已知： 如图，在△ ABC中， AD＝ DB，AE＝EC． 求证： DE∥BC，DE＝ 1 BC． 2 C D O E · B A 2、已知： 如图 27.3.12 所示，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，AE＝BE， DF＝CF． 求证： E