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专题三新定义问题 一、 中考专题诠释 所谓 新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、 新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行 运算、推理、迁移的一种题型 ?新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点 ?在复 习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 二、 解题策略和解法精讲 新定义专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移. 三、 中考典例剖析 考点一：规律题型中的新定义 例1阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题: sin30 °= — , cos302 ，贝U sin sin30 °= — , cos30 2 2 cos45 ° = cos45 ° = , 2 则 sin245°+cos245° = 1 ?③cos60° =-，贝U sin260°+cos260° = ?③ 2 观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有sin 2A+cos2A= ?④ (1)如图，在锐角三角形 ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对/ A证明你的猜 想; 3 (cosA 0 )且 sinA= —，求 cosA . 5 考点二：运算题型中的新定义 例2定义新运算：对于任意实数 a, b，都有a ? b=a (a-b) +1，等式右边是通常的加 法、减法及乘法运算，比如： 2? 5=2X (2-5) +1=2X (-3) +1=-6+1 ==-5。 求(-2)? 3 的值； 若3? x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来. ■ ■ IN I I II ■片 TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document T ? 2-10 1 2 3 考点三：探索题型中的新定义 例3、定义：直线h与12相交于点O,对于平面内任意一点 M，点M到直线1“ I2的距离 分别为p、q ,则称有序实数对(p, q)是点M的距离坐标”，根据上述定义， 距离坐标’ 是(1 , 2)的点的个数是( ) A. 2 B . 3 C . 4 D . 5 例4、如图，△ ABC是正三角形，曲线 CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧EF的圆心依次是 A、B、C,如果 AB=1，那么曲线 CDEF的长是 . 例5、如图1 , P为/ MON平分线OC上一点，以P为顶点的/ APB两边分别与射线 OM 和ON交于A、B两点，如果/ APB在绕点P旋转时始终满足 OA OB=OP2,我们就 把/ APB叫做/ MON的关联角. 图1BPCM 图1 B P C M (1)如图2, P为/ MON平分线 OC上一点，过P作PB丄ON于B, API OC于P,那么/ APB / MON的关联角(填“是”或“不是”). (2)① 如图3,如果/ MON=60° 0P=2，/ APB是/ MON的关联角，连接 AB, 求厶AOB的面积和/ APB的度数； ② 如果/ MON= a (0°v a v 90°, OP=m,Z APB 是/ MON 的关联角，直 接用含有a和m的代数式表示△ AOB的面积. 考点四：平面直角坐标系中的新定义 例6、对于平面直角坐标系 xOy中的点P和O C,给出如下的定义：若O C上存在两个 1 1 点A、B，使得/ APB=60 ，则称P为O C的关联点.已知点 D (― , — ), E (0, -2), 2 2 F (2, 0). 当O O的半径为1时， 在点D、E、F中，O O的关联点是 . 过点F作直线I交y轴正半轴于点 G,使/ GFO=30，若直线I上的点P (m , n)是 O O的关联点，求m的取值范围； 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r的取值范围. ! 1 I 1 1 1 1 —1 1 、 0 - 例7、在平面直角坐标系 xOy中，A (t , 0), B (t+少,0),对于线段AB和x轴上方 的点P给出如下定义：当/ APB=60。时，称点P为AB的“等角点”. ⑴若“撐，在点C%3 ⑴若“撐，在点C% 3，D 23 中，线段AB的“等角点” 是 ；( 是 ； (2)直线MN分别交x轴、y轴于点M、N, 线段AB的“等角点” P在直线MN 在①的条件下，过点 B作BQ丄PA, 点 M 的坐标是(6, 0) , Z OMN= 30°. 上，且/ ABP=90 °，求点 P的坐标； 交MN于点Q,求Z AQB的度数； 若线段AB的所有“等角点”都在△ MON内部，则t的取值范围是 y* O-1 O -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x 专题三新定义问题配套练习 1阅读并回答问题