初2104根式方程(组)的解法.docxVIP

PAGE PAGE # 4 PAGE 4 PAGE # 第2104讲 根式方程（组）的解法 、知识和方法要点 如果方程（组）含有根式，且根号内含有未知数，则称这样的方程（组）为根式方程（组）或称这样的 方程（组）为无理方程（组）。 根式方程（组）有着广泛的实际应用，例如，在用代数法解直角（斜）三角形时，所列出的方程（组） 就可能是根式方程（组）。 解根式方程（组）的基本思想是通过去根号将其转化为整式方程来解。 化根式方程（组）为整式方程的基本方法 1） 平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号； 2） 配方法：采用配方的手段，或利用非负数性质或将配方的底数整体解出去； 3） 共轭根式法：利用共轭根式的性质，去掉根号； 4） 换元法：用新变元整体代替根式，去掉根号； 5） 不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解的实数，从而确定方程的解。 在解根式方程（组）时，由于要去掉根号，将方程的两边平方，这样，使解出的解是另一个方程的解 （方 程f 2（x） =g2（x）的解可能是方程f （x） g（x）的解，也可能是方程 f （x）二-g（x）的解），故有可能产生不 适合原方程的根，这样的根称为根式方程（组）的增根。 在解根式方程（组）时的注意事项 1） 在将根式方程（组）转化为整式方程时，为减少不必要的计算，应根据原根式方程（组）的特点， 采用相应的化简方法和技巧； 2） 解根式方程（组）时，验根是必不可少的步骤； 3） 解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。 、典型题例选讲 例1 设a，b是有理数，且满足等式 a b . 6 J 4 2 3，则a b的值是（ ）。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【分析】 式进行化简。【解答】（2006 【分析】 式进行化简。 【解答】 题中的条件a，b是有理数建议我们利用有理数和无理数的性质解题。首先应将右边的复合二次根 选B。因为 由实数性质得 所以，a ? b =4。【评注】 利用有理数和无理数的性质解题。 例2 解方程： 3x 1 — 由实数性质得 所以，a ? b =4。 【评注】 利用有理数和无理数的性质解题。 例2 解方程： 3x 1 —谜4 =1 。 a 二 3，b 二1。 （解根式方程；平方法） 【分析】 这是一个关于x的根式方程。通常的方法是：通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，把方程变 成整式方程来解。 【解答】移项 3x ? 1 =1 ? x 4， 两边平方得 3x^x52.x4， 整理得 x - 2 = x 4， 再两边平方得 x2 —4x x 4， 即 x（x-5）=0, 解之得 x = 0或x = 5。 经检验x =0是增根，x =5是原方程的根。所以，原方程的解为 【评注】 解分式方程（组）时，验根是必不可少的步骤。 例3 设实数 x, y, z满足 x y z=4(. x _5 .. y _4 z _3)，求 x, y, z 的值。 (解根式方程；配方法) 【分析】 将条件式看成根式方程，由于要从一个方程解出三个未知数 x, y, z,故可考虑采用配方法进行解 题。 【解答】 移项 [(x -5) _4. ~TT5 4] [(y-4) -4. ^4 4] [(z _3) _4 TT3 4] =0 , 配方得 (X —5 -2)2 (、y —4 —2)2 ( z —3 —2)2 =0 , 故 .x _5 _2 =0, y _4 _2 =0, 云73_2=0, 解得 x=9, y=8, z=7。 经检验，x =9, y =8, z=7是原方程的解。 【评注】与有理方程类似，可通过配方法解多个未知数方程。 例4求所有的实数x，使得x^x—1 -1—1。 (解根式方程；平方法，配方法) 【分析】 本题要求解一个关于 x的根式方程，如果通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，方程将变得复 杂，第二步采用配方，简化运算。 【解答】移项 两边平方得 x2 X2X. 口 =1」 X X X 整理得 X2 x—1 —2x. X — 1. =0 , 两边除以X,得 x—- -2 x — 1 1 =0 , X X 配方得 于是 X—, x 两边乘以X,得 X2 -x-1 =0 , 解之得 1 _ . 5 X 一 2 。 注意到x 0，所以x」 5。 2 经检验，x 5是原方程的解。 2 【评注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。 例 5 解方程： x x 2 2 x2 ? 2x = 4 - 2x。 (解根式方程；配方法，分解因式法) 【分析】 观察到? x ^2 x2 2x，首先考虑将方程移项后进行配方，然后再分解因式使方程得到化简， 最后按常规解法，两边平方去掉根号化为整式方程来解。 【解答】将方程化为 (x 2 . X2 2x x 2)