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第五章 平面向量 §5.1 平面向量的概念及线性运算 基础知识?自主学习 ^要点梳理 i.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有 又有 的量:向量的大小 叫做向量的 或称 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 的向量:其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于 的向量 十 a 非零向量 a的单位向量为 苯| 平行向量 方向 或 的非零向量 0与任一向量 或共线 共线向量 的非零向量又叫做共 线向量 相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等, 不能 比较大小 相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0 2?向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 (1)交换律:a + b = .结合 律:(a+ b)+ c= a ifejn 3 法■ C CAO=30D D.2A0= OD 减法 求a与b的相反向 量一b的和的运算 叫做a与b的差 法则 a— b = a+ (—b) 数乘 求实数入与向量a 的积的运算 (1)1 斫 (2)当?0时,七的方向与 a的方向 ;当X0 时,2的方向与a的方向 ;当A 0时,2 2 旧)= ;(2+ u)a 2a+ b)= 3?共线向量定理 向量a(a^ 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数 入使得 . [难点正本疑点清源] 1?向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素 ?用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有 关系?同向且等长的有向线段都表示同一向量 ?或者说长度相等、方向相同的向量是相 等的?向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小 2?向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共线的情况 ?因而要利用向 量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合 基础自测 TOC \o 1-5 \h \z 1?化简6P— QP+ MIS-MIQ的结果为 ? 2?在平行四边形 ABCD中,E为DC边的中点,且AB= a, AD = b,则BE= 3?下列命题:①平行向量一定相等; ②不相等的向量一定不平行; ③平行于同一个向量 的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线?其中不正确命题的序号是 ? 4?已知D为三角形 ABC边BC的中点,点 P满足PA+ BP+ CP= 0, AP= 肩),则实数 入 的值为 ? 5?已知0是厶ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且20A + 0B+ oC= 0 ,那么( ) A.a0= OD BAO = 20D 设AB= a 设AB= a, AC= b,试用 a, b表示AD, Ag. 题型分类?深度剖折 题型一 平面向量的概念辨析 【例11给出下列命题: ①若|a|=|b|,贝U a= b;②若A, B, C, D是不共线的四点,则AB= DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若a= b, b = c,则a= c;④a= b的充要条件是|a|=|b| 且 a II b. TOC \o 1-5 \h \z 其中正确命题的序号是 . 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键 相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性 共线向量即为平行向量,它们均与起点无关 ? 向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量 ?解题时,不要把它与函数图象 移动混为一谈? 非零向量a与a的关系是:f是a方向上的单位向量. la| la| 变式训练1判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由 若向量a与b同向,且|a||b|,则ab ; ⑵若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反; ⑶若|a|=|b|,且a与b方向相同,贝U a= b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; ⑸若向量a与向量b平行,则向量a与b的方向相同或相反; 若向量AB与向量CD是共线向量,则 A, B, C, D四点在一条直线上; ⑺起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二向量的线性运算 【例2丨在厶ABC中,D、E分别为BC、AC边 上的中点,G为BE上一点,且 GB= 2GE 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地 找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧: ①观察各向量的位置; ②寻找相 应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果? 变式圳塚2在厶abc中,e、F分别为AC、AB的 中点,BE与CF相交于G点,设AB= a, AC= b, 试用a, b表示AG. 题型三平面向量的共线问题 【例31设两个非零向量 a与b不共线, (1)若AB= a+
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