抽屉原理与排列组合..pdfVIP

抽屉原理 把 4 只苹果放到 3 个抽屉里去，共有 3 种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个 苹果。同样，把 5 只苹果放到 4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。……更进 一步，我们能够得出这样的结论：把 n ＋1 只苹果放到n 个抽屉里去，那么必定有一个抽屉 里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。 　　利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来就 能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽 屉”，把什么看作“苹果”。 　　【例 1】一个小组共有 13 名同学，其中至少有 2 名同学同一个月过生日。为什么？ 　　【分析】每年里共有 12 个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这 12 个月看成 12 个 “抽屉”，把 13 名同学的生日看成 13 只 “苹果”，把 13 只苹果放进 12 个抽 屉里，一定有一个抽屉里至少放 2 个苹果，也就是说，至少有 2 名同学在同一个月过生日。 　　【例 2 】任意4 个自然数，其中至少有两个数的差是 3 的倍数。这是为什么？ 　　【分析】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以 3 的余数相同，那么这两 个自然数的差是 3 的倍数。而任何一个自然数被 3 除的余数，或者是 0 ，或者是 1，或者是 2 ，根据这三种情况，可以把自然数分成 3 类，这 3 种类型就是我们要制造的 3 个“抽屉”。 我们把 4 个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2 个数。换句话说，4 个自然数分成 3 类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被 3 除的余数就一 定相同。所以，任意 4 个自然数，至少有 2 个自然数的差是 3 的倍数。 　　想一想，例 2 中4 改为 7 ，3 改为 6，结论成立吗？ 　　【例 3 】有规格尺寸相同的 5 种颜色的袜子各 15 只混装在箱内，试问不论如何取，从 箱中至少取出多少只就能保证有 3 双袜子（袜子无左、右之分）？ 　　【分析】试想一下，从箱中取出 6 只、9 只袜子，能配成 3 双袜子吗？回答是否定的。 按 5 种颜色制作 5 个抽屉，根据抽屉原理 1，只要取出 6 只袜子就总有一只抽屉里装 2 只， 这 2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩 4 只，如果再补进 2 只又成 6 只，再根据抽屉原理 1，又可配成一双拿走。如果再补进2 只，又可取得第 3 双。所以，至少要取 6＋2 ＋2=10 只袜子，就一定会配成 3 双。 　　【例 4 】一个布袋中有35 个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有 10 个， 另外还有 3 个蓝色球、2 个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少 有 4 个是同一颜色的球？ 　　【分析】从最“不利”的取出情况入手。 　　最不利的情况是首先取出的 5 个球中，有 3 个是蓝色球、2 个绿色球。 　　接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过 4 个，所以， 根据抽屉原理 2 ，只要取出的球数多于（4-1 ）×3=9 个，即至少应取出 10 个球，就可以保 证取出的球至少有 4 个是同一抽屉（同一颜色）里的球。 　　故总共至少应取出 10＋5=15 个球。 　　思考：把题中要求改为 4 个不同色，或者是两两同色，情形又如何？(答案分别为 31 和 33 ） 　　当我们遇到 “判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它 ——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。 　　提示语 　　抽屉原理还可以反过来理解：假如把 n ＋1 个苹果放到 n 个抽屉里，放 2 个或 2 个以上 苹果的抽屉一个也没有（与 “必有一个抽屉放 2 个或 2 个以上的苹果”相反），那么，每个 抽屉最多只放 1 个苹果，n 个抽屉最多有 n 个苹果，与“n+1 个苹果”的条件矛盾。 运用抽屉原理的关键是 “制造抽屉”。通常，可采用把n 个 “苹果”进行合理分类的方 法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为 12 类，自然数可按被 3 除所得 余数分为 3 类 排列组合问题 例 1：某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多 少种不同的买法？ 分析：某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食。其中，买主食有 3 种 不同的方法，买副食有 5