九年级中考复习二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析).docVIP

二次函数与圆的综合习题 类型一 圆的基本性质应用 例 1： 如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（x- ） 2+ 与⊙ M 交于 A， B， C， D 四点， 点 A， B 在 x 轴上，点 C 坐标为（ 0，-2）．（1）求 a 值及 A， B 两点坐标； （2）点 P（m， n）是抛物线上的动点，当∠ CPD 为锐角时，请求出 m 的取值范围； （3）点 E 是抛物线的顶点， ⊙M 沿 CD 所在直线平移， 点 C，D 的对应点分别为点 C′， D′，顺次连接 A， C′，D′，E 四点，四边形 AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存 在最小值？若存在，请求出此时圆心 M ′的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（ 1）A（ 1，0），B（ 4，0）．（ 2）m＜ 0 或 1＜ m＜ 4 或 m＞5．（ 3）存在．M（′ ，-2） 【解析】解：（ 1）∵抛物线 y=a（x- ）2+ 经过点 C（ 0， -2）， -2=a（ 0- ） 2+ ， a=- ， y=- （ x- ） 2+ ， 当 y=0 时， - （x- ） 2+ =0， x1 =4， x2=1， ∵A 、 B 在 x 轴上， A （ 1，0），B（4， 0）． （2）由（ 1）可知抛物线解析式为 y=- （ x- ）2+ ， ∴C、 D 关于对称轴 x= 对称， ∵C（ 0，-2）， ∴D（ 5，-2）， 如图 1 中，连接 AD 、 AC 、 CD，则 CD=5 ， ∵A （ 1，0），C（0， -2），D（5，-2）， ∴AC= ， AD=2 ， ∴AC 2+AD 2=CD 2， ∴∠ CAD=90° ， ∴CD 为⊙ M 的直径， ∴当点 P 在圆外部的抛物线上运动时，∠ CPD 为锐角， ∴m＜ 0 或 1＜m＜4 或 m＞ 5． （3）存在．如图 2 中，将线段 C′A平移至 D′F，则 AF=C′D′=CD=5， ∵A （ 1，0）， ∴F（6，0）， 作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′， 连接 EE′正好经过点 M ，交 x 轴于点 N， ∵抛物线顶点（ ， ），直线 CD 为 y=-2， ∴E′（ ，- ）， 连接 E′F交直线 CD 于 H， ∵AE ， C′D′是定值， ∴AC′+ED′最小时，四边形 AC′D′E的周长最小， ∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥， E′F 则当点 D′与点 H 重合时，四边形 AC′D′E的周长最小，设直线 E′F的解析式为 y=kx+b ， ∵E′（ ，- ）， F（ 6，0）， ∴可得 y= x- ， 当 y=-2 时， x= ， ∴H（ ，-2），∵ M（ ，-2）， ∴DD′=5- = ， - = ， ∴M′（ ，-2） 针对训练 1．已知二次函数 y＝ax2－ 2ax＋c(a＜ 0)的图像与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 BC 与它的对称轴交于点 F，且 CF： FB＝1： 3． (1) 求 A 、 B 两点的坐标； (2) 若△COB 的内心 I 在对称轴上，求这个二次函数的关系式； (3) 在(2)的条件下， Q(m，0)是 x 轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点 M ，与抛物线交于点  N，连接  CN，将 △CMN  沿直线  CN  翻折， M  的对应点为  M′，是否 存在点  Q，使得  M′恰好落在  y 轴上？若存在，求出点  Q 的坐标；若不存在，请说明理 由． 【答案】 (1)B(4 ， 0)， A( －2，0)；(2)y= x2+ x+3 ；(3)存在， Q( ， 0)或 Q( ，0) 【解析】 （1）如图所示：对称轴为：直线 ， ∴OE=1 ， ∵OC∥EF， ∴ ， EB=3 ， 由对称性得： BE=AE=3 ， A( - 2,0),B(4,0) ； (2)如图， 是 △ 的内切圆，过点 I 作 于点 D， ∴ 设 ，则 在 Rt△OCB 中， OB=4 ， 即 解得 C(0,3) ， c=3， 把 A( - 2,0), C(0,3)代入抛物线 y=ax2-2ax+c 中得：解得： ∴抛物线的解析式为： y= x2+ x+3； (3)如图 ,由题意∠ M′ CN=∠ NCB ， ∵MN ∥ OM′， ∴∠ M′CN=∠ CNM, ∴∠ CNM = ∠NCB， ∴MN=CM ， ∵直线 BC 解析式为 ， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴ ，  ，作 ME ⊥OC 于 E， ①当 N 在直线 解得： m= 或 Q( ，0)， ②当 N 在直线  BC 上方时 , 0(舍弃 )， BC 下方时