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论「大衍求一术」 姓名 学号 专业 课程名称 指导教师 开课学期 20 至20 学年学期 论「大衍求一术」 目录 秦九韶简介 宋元时期历史背景 大衍求一术 中国剩余定理： “大衍求一术”源流 “大衍求一术”命名 “大衍求一术”的应用 例题解析 大衍求一术算法 （用 Algol 60 语言） 民间流传 论「大衍求一术」 一、秦九韶 秦九韶（公元 1202~1261年），字道古，生于四川，南宋数学家。秦九韶的一生十分复杂，首先他是学者，知识渊博，思想活跃。他“性格机巧，星象、音律、算术以至营造等事无不精究。 迩尝从李梅亭（李刘）学骈俪诗词。游戏、马、弓、剑，莫不能 知。”秦九韶从自然科学到社会科学， 从技术到天文， 从游戏到武术无不通晓，是为但是我国不可多得的通才、全才。 他在 1247 年著成『数书九章』十八卷。全书共 81 道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。『数书九章』是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应 用到高次方程的有理或无理根的求解上去， 其中对「大衍求一术」（一次同余组解法）和 「正负开方术」（高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。 『数书九章』的内容以数学为主， 可是把数学用于天文历法、水利工程、建筑、测绘、田亩、军事、商业贸易、税收、气象、货币金融等方面。这也充分说明秦九韶不仅学识渊博，而且有实践精神。但是『数书九章』也有他的美中不足之处，周密说秦九韶“性喜奢好大， 嗜老谋身”，他在著作中也有好高骛远哗众取宠的作风。他为了发挥大衍求一术的公用，多方设计可用求一术来解决的应用问题，他而主观愿望积极，但是无可讳言有几个问题出现了纰漏。 二、历史背景 宋元时期是中国数学大放异彩的时期， 它像一盏灿烂的明灯，表明了世界数学发展的高度，宋元数学为什么会出现如此盛况呢？我们要从宋元社会的特点和中国数学发展规律中寻找答案： 整个宋元时期（公元），重新统一了的中国封建发生了一系列有利于数学发展的变化。商业的繁荣，手工业的兴盛，以及由此引起的技术进步（四大发明中的三项：指南针、火药、活字印刷 是在宋代完成并获得广泛应用） ，给科学文化带来了积极的形象和推动作用，给数学的发展带来了新的活力。 这一时期涌现的优秀数学家最卓越的代表通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学时尚占有光辉的地位，而这一时期印刷出版记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。 三、大衍求一术 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数” ，原题为：今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之剩 三；七、七数之，剩二．问物几何？ 这实际上是求解一次同余式组的问题。后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。 大衍求一术内容： 设一次同余式组为 （1） 式中 都是整数。 如果 即两两互质。 并设 且 则组（ 1）的全部解为： 也就是说一次同余式（ 1）的解化归为解 K 个同余式的问题： 秦九韶称 mi 称为定母， V 为衍母， Mi 为衍数 .x i 为乘率。 也就是说，秦九韶的解法最后归结到解下面一种类型的同式 问题。即 A、B 为互质的两整数，求出一整数 , 使满足同余式 1 mod A 其中 A 为定母， B 为衍数，求出的率 的方法称“大衍求一术”。  称乘率。秦九韶把求乘 秦九韶先从 B 中屡减 A ，使其余数 GA,称 G为寄数。 大衍求一术说： “置寄右上，定居古下，天元一于左上。” 先立一图式： 然后“先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下，然后乃以后行上下，以少除多，递互除之，所得商数，随即递累乘，归左行上下，须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率”。 举例如下： 7 1 mod 17 算式如下： 得 =5 “大衍求一术” ： 此时左上所得 cm即为乘率，即 =cm。 现在证明 =cm。由上计算变换式的箭头线上下得两组等 式： 设 l2 q2 , l3 q3 l2 1, l4 q4l3 l 2 , ， lm qml m 1 l m 2 ，则由上两组 等式可以推出： 当 r m =1 时，最后一等式为 ， 由此可知： 再根据 得 在各种计算问题中，所给的模数 mi 不 一定两两互素，且不 可能都是整数。秦九韶把模数分为四种： 1. 元数：指一般整数； 2. 收数：指小数； 3. 通数；指分数； 4. 复数：指皆为 10”的倍数。 秦九韶把后三种先化为第一种，然后把不互素的化为互素。 四、大衍求一术——中国剩余定理： 从《孙子算经》“物不知数”题到秦九韶的“大衍求一术” ，我国古代数学家对一次同余式的研究，不仅在中国数学