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洛 必达法则巧解高考压轴题 洛必达法则： 法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) lim f x 0 及 lim g x 0 ； x a x a (2) 在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x) 可导且 g(x) ≠0； (3) f x l ， lim x a g x 那么 lim f x = lim f x l 。 0 型 x a g x x a g x 0 法则 2 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) lim f x 及 lim g x ； x a x a (2) 在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x) 可导且 g(x) ≠0； f x l ， (3) lim x x a g f x f x l 。 那么 lim x = lim x 型 x a g x a g 注意： 1 将上面公式中的 x→a，x→∞换成 x→ +∞， x→ - ∞， x a ， x a 洛必达法则 ○ 也成立。 ○2 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 典例剖析 例题 1。 求极限 lim ln x ( 型 ) 1 （ 1） x 0 x （ 2） lim sin x - 1 ( 0 型 ) x? p cosx 0 2 lim ln cos x ( 0 型 ) （ 3） x 0 x 2 0 （ 4） xlim ln x ( 型 ) x 变式练习 : ln(1 x) lim sin x sin a 求极限（ 1） lim x x a x 0 x a (2) lim ex e x lim ln sin x x 0 sin x (4) x 2 ( 2x)2 (3) 例题 2。 已知函数 f (x) m(x 1)ex x2 , m R （ 1）当 m 时，求 f ( x) 在 2,1 上的最小值 1 （ 2）若 x2 (m 2) x f (x) 在 ,0 上恒成立，求 m 的取值范围 b 例题 3.已知函数 f ( x) ax c, (a 0) 的图像在点 1, f (1) 处的切线方程为 y x 1， x （ 1）用 a 表示 b,c （ 2）若 f ( x) ln x 在 1, 上恒成立，求 a 的取值范围 例题 4.若不等式 sin x x ax3 在 x 0, 是恒成立，求 a 的取值范围 2 例题 5.已知 f ( x) x(ex 1) ax 2 （ 1）若 f ( x) 在 x 1 时有极值，求函数 f ( x) 的解析式 （ 2）当 x 0 时， f ( x) 0 ，求 a 的取值范围 强化训练 1. 设函数 f ( x) 1 e- x （ 1）证明：当 x1 时， f (x) x 。 x 1 （ 2）当 x 0 时 f ( x) x 求 a 的取值范围 ax 1 2.设函数 f (x) ex 1 x ax2 。 （ 1）若 a 0 ，求 f ( x) 的单调区间； （ 2）若当 x 0 时 f ( x) 0 ，求 a 的取值范围 aln x b f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x 2 y 3 0 。 3． 已知函数 f ( x) ，曲线 y x 1 x （Ⅰ）求 a 、 b 的值； （Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1 时， f (x) ln x k ，求 k 的取值范围。 x 1 x 4.若函数 f (x) sin x ， cos x 1）求 f ( x) 的单调区间。 （ 2）对 x 0 ，都有 f (x) ax ，求 a 的取值范围