基本不等式均值不等式技巧.docxVIP

【基本知识】 2 2 1.（1）若 a,b R ，则 a2 b2 2ab (2) 若 a,b R ，则 ab a 2 b （当且仅当 a b 时取“ =”） 2. (1) 若 a, b R* ，则 a b ab (2) 若 a,b R * ，则 a b 2 ab（当且仅当 a b 2 时取“ =”） a 2 (3) 若 a, b * b ( 当且仅当 a b 时取“ =”） R ，则 ab 2 3 3 3 3abc abc a3 b3 c3 ( 、 、 R )， 时 “ ” a = b = c 3 , = 号成立； a b c 3 a b c 33 abc abc (a、 b、c R ) , 当且仅当 a = b = c 时, 3 “ =”号成立 . 4. 若 a, b R ，则 ( a b) 2 a2 b 2 （当且仅当 a b 时取“ =”） 2 2 注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 2 2 2 (3) 熟悉一个重要的不等式链： ab a ba b 。 1 1 2 2 a b 【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（ 利用均值不等式做题时， 条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1：已知 x 5 ，求函数 y 4 x 2 1 的最大值。 4 4 x 5 当时，求 y x(8 2x) 的最大值。 3：设 0 x 3 ，求函数 y 4x(3 2x) 的最大值。 2 4、求函数 y 1 ( x 1) 的最小值。 x 2 2( x 1) 5 已知，且满足，求的最大值 . 6 已知 x， y 为正实数，且 x 2 ＋ y 2 ＝ 1，求 x 1＋y 2 的最大值 . 2 7 若且 , 求的最小值 . 技巧一答案： 1 解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4 x 2) g 1 不是常数，所以对 4x 2 4 x 5 要进行拆、凑项， 5 , 5 4x 0， 1 5 4 x 1 3231 Q x y 4x 2 4 4 x 5 5 4 x 当且仅当 5 4x 1 ，即 x 1 时，上式等号成立，故当 x 1时， ymax 1。 5 4x 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的 形式，但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8 为定值，故只需将 y x(8 2x) 凑上一个 系数即可。 当，即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。 评注： 本题无法直接运用基本不等式求解， 但凑系数后可得到和为定值， 从而可利用基本不 等式求最大值。 3 2 3、解：∵ 0 x ∴ 3 2 x 0 ∴ y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 2x 3 2x 9 2 2 2 当且仅当 2 x 3 2x, 即 x 3 0, 3 时等号成立。 4 2 解析： y 1 (x 1) (x 1) 1 x 1 x 1 1 1(x 1) x 2 2(x 2 1(x 1) 2 2 2(x 2 2(x 1) 1) 1) 33 x 1 x 1 1 1 3 1 5 ，当且仅当 x 1 2(x 1 ( x 1) 即 x 2时，“=” 2 2 2(x 1)2 2 2 2 1)2 5 号成立，故此函数最小值是 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其 积为常数。通常要通过添加常数、 拆项（常常是拆底次的式子） 等方式进行构造。 5、分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是与的和为定 值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式 . 当且仅当，即时，等号成立 . 所以的最大值是 . 6 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ≤a 2 ＋ b 2 。 ab 2 同时还应化简 1＋ y 2 中 y2 前面的系数为 1 ， x 1＋ y 2 ＝ x 2· 1＋ y 2 ＝ 2 2 2 y 2 x· ＋ 2 2 下面将 x， 1 y 2 2 ＋ 2 分别看成两个因式： 2 1 y 2 2 2 y 2 1 x · 1 y 2 x ＋ ( 2＋2) x ＋2 ＋2 3 即 x 1＋ y 2 ＝ 2 · x 2 ＋ 2 ≤ 2 ＝ 2 ＝ 4 1 y 2 3 2 2 ＋ 2 ≤ 4 7 分析