基本不等式学习知识点学习归纳.docxVIP

向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线 .( 这些和实数集中类似 ) 代数不等式： 同号或有； 异号或有 . 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号 . ） 放缩不等式： ①，则 . 【说明】：（，糖水的浓度问题） . 【拓展】： . ②，，则； ③，； ④， . ⑤,. 函数 ( ) b ( 、 0) 图象及性质 ax a b f x x (1) 函数 f ( x) ax b a、 b 0 图象如图： y x b 2 ab x b a o (2) 函数 f ( x) ax a、 b 0 性质： 2 ab b x a ①值域： ( , 2 ab ] [ 2 ab , ) ； ②单调递增区间： ( , b ] ， b b ] ，[ b ,0) . ,) ；单调递减区间： (0, a [ a a a 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式： ( 当且仅当时取到“” ) ． 【变形】： ①（当 a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、 几何平均数、 算术平均数、 均方根之间的关系， 即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *. 若 x 0 ，则 1 2 ( x 1 x 当且仅当 时取“ ”） x 若 x 0 ，则 x 1 2 ( 当且仅当 x 1 时取“ =”） x 若 x 0 ，则 x 1 2即 x 1 2或 x 1 ( 当且仅当 a b 时取“ =”） x x -2 x *. 若 ab 0 ，则 a b 2 ( 当且仅当 a b 时取“ =”） b a 若 ab 0 ，则 a b 2即 a b 2或 a b -2 ( 当且仅当 a b 时取“ =”） b a b a b a 3、含立方的几个重要不等式（ a、b、c 为正数）： （，）； * *  不 等 式 的 变 形 在 证 明 过 程 中 或 求 最 值 时 ， 有 广 泛 应 用 ， 如 ： 当 ab 0 时 ， a 2 b 2 2ab 同时除以 ab 得 b a 2 或 b 1 1 a 。 a b a b a, b, 均为正数， a 2 a b 2 b 八种变式： ① ab a 2 b2 ； ② ab ( a b )2 ； ③ ( a 2 b )2 a2 b2 2 2 2 ④ a b 2(a 2 b 2 ) ；⑤若 b0, 则 a 2 2a b；⑥ a0,b0, 则 1 1 a 4 ； b a b b ⑦若 a0,b0, 则 ( 1 1 ) 2 4 若 ab 1 1 1 1 1 2 a b ； ⑧ 0 ，则 2 b 2 2 ( ) 。 ab a a b 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ a b ”。 最值定理 （积定和最小） ①，若积，则当时和有最小值； （和定积最大） ②，若和，则当是积有最大值 . 【推广】：已知，则有 . 1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小. 2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大. ③已知，若，则有则的最小值为： ④已知，若则和的最小值为： . ② 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧” ： ⑴凑系数（乘、除变量系数） . 例 1. 当 时，求函的数最大值 . ⑵凑项（加、减常数项） ：例 2. 已知 ，求函数 的最大值 . ⑶调整分子：例 3. 求函数的值域； ⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形 , ，不易想到，应重视； 例 4. 求函数的最大值； ⑸连用公式：例 5. 已知，求的最小值；⑹对数变换：例 6. 已知，且，求的最大值；⑺三角变换：例 7. 已知，且，求的最大值；⑻常数代换（逆用条件） ：例 8. 已知，且，求的最小值 . “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值 若（为定值，），可设，其中 . ①在上是增函数，在上是减函数； ②在上是增函数，在上是减函数； ③ . 令，其中 . 由，得，从而在上是减函数 . ⑵和为定值 若（为定值，），则 ①在上是增函数，在上是减函数； ② . 当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数 . ③在上是减函数，在上是增函数； ⑶积为定值 若（为定值， ），则 . 当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数； ② . 当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；③在上是减函数，在上是增函数 . ⑷倒数和为定值 若（为定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得 . . 当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数； ② . 当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数； ③ . 令，其中且，从而在上是增函数