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多面体外接球半径内 切球半径的常见几种 求法 精品文档 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 多面体外接球、内切球半径常见的 5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的 内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几 何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用 多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素 与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关 重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱 9 的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9，底面周长为3,则这个球 8 的体积为 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有98 解设正六棱柱的底面边长为 x，高为h，则有9 8 6x 3, 6 于Xh， 1 X 2, h 、. 3. ???正六棱柱的底面圆的半径r 1 2，球心到底面的距离d ???外接球的 半径 R .r2 d2 1. 小结本题是运用公式R 小结本题是运用公式R2 r2 d2求球的半径的，该公式是求球的半径的 常用公式. 多面体几何性质法 例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为16,则 这个球的表面积是 A.16 B. 20 C. 24 D. 32 解 设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R，则有4x2 16，解得 x 2. ??? 2R J2 22 42 2晶, R 晶.二这个球的表面积是4 R2 24 . 选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一 性质来求解的? 补形法 例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 、、3，则其外接球的表 面积是 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，二把这个三棱锥可以补 成一个棱长为.3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 2 _ 2 2 2 9 设其外接球的半径为R，则有2R .3 3 9.二R2 -. 4 故其外接球的表面积S 4 R2 9 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的 长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有 2R . a2 b2 c2 . 寻求轴截面圆半径法 例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，点 CS、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 . C 解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为0， 如图3所示.???由球的截面的性质，可得 001平面ABCD . 又SOi 平面ABCD，二球心0必在SO所在的直线上. ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球 的半径. 在 ASC 中，由 SA SC 、、2, AC 2，得 SA2 SC2 AC2. ??? ASC是以AC为斜边的Rt . AC2 AC 2 1是外接圆的半径，也是外接球的半径 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 .本题提供的这种 思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球 的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 ?这种等价转 化的数学思想方法值得我们学习. 确定球心位置法 例5 在矩形ABCD中，AB 4, BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直 面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为 八125 125 C. 125 A. B. 12 9 6 CD.竺 C 3 解 设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平 分，可知0A OB 0C 0D. ???点0到四面体的四个顶点 A B、 A B、C、D的距离相等，即点 0为四面体的外接球的球心，如图 2所示.???外 5接球的半径R 0A -.故V球222x2 5 接球的半径R 0A -.故V球 2 2 2 x2 z2 (x 2)2 z2 x2 2 2 2 2 2 y z x y (z 2) x2 2 2 z (x 1) (y z2 TOC \o 1-5 \h \z 4 n3 125 R .选 C. 3 6 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 精品文档 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 精品文档 解得x 解得x 1 所以半径为r 12 ( 3)212 — 【结论】：空间两点间距离公式： PQ ;(xi X2)2 (yi y2)2 (zi Z2)2 四面体是正四面体