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函数图像平移公式 设在直角坐标系 xoy 中有一函数为 y ? f (x) 则其图像平移公式有： 把图像向右平移（X 轴正方向）m（m0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n（n0） 个单位后所得的图像的解析式为 y ? n ? f (x ? m) 把图像向右平移 m（m0）个单位，再向下平移 n（n0）个单位后所得的图像的解析式 为 y ? n ? f (x ? m) 把图像向左平移 m（m0）个单位，再向上平移 n（n0）个单位后所得的图像的解析式 为 y ? n ? f (x ? m) 把图像向左平移 m（m0）个单位，再向下平移 n（n0）个单位后所得的图像的解析式 为 y ? n ? f (x ? m) 这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减” 说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用 x ? m 还是用 x ? m 替换 y ? f (x) 中的 x,是用 y ? n 还是用 y ? n 来替换 y ? f (x) 中的 y,使用起来很方便。 例一、 抛物线 y ? ?2x 2 ? 4x ? 3 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，求所得抛物线 的解析式。 解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用 x ? 3 、y ? 4 去替换抛物线 y ? ?2x 2 ? 4x ? 3 中的 x 、 y 就可以得到平移后的抛物线的解析式， 所以平移后的抛物线的解析式为 y ? 4 ? ?2(x ? 3)2 ? 4(x ? 3) ? 3 即 y ? ?2x 2 ? 16x ? 37 例二、 将一抛物线向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位所得到抛物线的解析式为 y ? x 2 ? 2x ? 3 求此抛物线的解析式。 解：所求抛物线可以看成是将抛物线 y ? x 2 ? 2x ? 3 向右平移 2 个单位，再向下平 移 3 个单位所得。所以所求抛物线的解析式为 y ? 3 ? (x ? 2)2 ? 2(x ? 2) ? 3 即 y ? x 2 ? 6x ? 8 例三、 求将直线 y ? 5x ?1向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位所得到直线的解析式 解：所求直线的解析为 y ? 5 ? 5(x ? 3) ?1即 y ? 5x ? 14;例四、 已知两条抛物线 C1 ： y ? x 2 ? 2x ? 5 ，C2： y ? x 2 ? 4x ? 7 问抛物线 C1 经过怎 样的平移后与 C2：抛物线重合。 解：设用 x ? m., y ? n 分别替换 C1 中的 x, y 得到抛物线 C2。于是 C2 的解析式又可 表示为 y ? n ? (x ? m)2 ? 2(x ? m) ? 5 ??? y ? x 2 ? 2(m ? 1)x ? m2 ? 2m ? n ? 5 比较系数得2(m ?1) ? ?4 、m2 ? 2m ? n ? 5 ? 7 解方程组可得m ? ?1, n ? 1 由此可知用 x ?1, y ? 1分别替换 C1 中的 x, y 得到抛物线 C2，所以抛物线 C1 先向右 平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后可与抛物线 C2 重合。 例五、 已知把直线 y ? ?3x ? 2 平移后经过点 A（－4，2）求平移后所得到的直线解析式、 并说明是向左还是向右平移几个单位得到的。 解：用 x ? m 替换直线 y ? ?3x ? 2 中的 x 得到平移后的直线解析 式 y ? ?3(x ? m) ? 2 又平移后的直线经过点 A（－4，2），于是有 2 ? ?3(?4 ? m) ? 2 ，解之得m ? 4 所以平移后所得到的直线解析式是 y ? ?3x ?10 ，它是将直线 y ? ?3x ? 2 向左平 移 4 个单位得到的。