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届决赛试题及答案 28 届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、（15 分）在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在 A、B 两点，导轨直径 AB=2R，AB 与竖直方向间的夹角为 60°， 在导轨上套一质量为 m 的光滑小圆环， 一劲度系数为 k 的 轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与 A、B 两点，  A O D θ 60° C B C 28 决— 1 如图 28 决—1 所示。当圆环位于 A 点正下方 C 点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从 C 点无初速度释放， 圆环在时刻 t 运动到 C点，CO 与半径 OB 的夹角为θ，重力加速度为 g.试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小： 1）θ=90°（2）θ=30° 二、（15 分）如图 28 决—2 所示，在水平地面上有一质 量为 M、长度为 L 的小车，车内两端靠近底部处分别固 L 定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为 k1 m1 m2 k2 l1 和 l2，劲度系数分别为 k1 和 k2；两弹簧的另一端分别放 图 28 决— 2 着一质量为 m1、m2 的小球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球 1 压缩弹簧 1 并保持整个系统处于静止状态，小球 2 被锁定在车底板上，小球 2 与小车右端 的距离等于弹簧 2 的原长。现无初速释放小球 1，当弹簧 1 的长度等于其原长时， 立即解除对小球 2 的锁定；小球 1 与小球 2 碰撞后合为一体，碰撞时间极短。 已知所有解除都是光滑的；从释放小球 1 到弹簧 2 达到最大压缩量时，小车移 动力距离 l 3 试求开始时弹簧 1 的长度 l 和后来弹簧 2 所达到的最大压缩量 2 . . l 第 28 届物理决赛第 1 页 共 27 页 届决赛试题及答案 三、（20 分）某空间站 A 绕地球作圆周运动，轨道半径为 B 转移轨道 rA =6.73 ×106m.一人造地球卫星 B 在同一轨道平面内作圆周 地球 A 运动，轨道半径为 rB =3r A/2，A 和 B 均沿逆时针方向运行。 现从空间站上发射一飞船 （对空间站无反冲） 前去回收该卫 图 28 决— 3 星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均 采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道 均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和 卫星的轨道上，如图 28 决—3 所示。已知地球半径为 Re=6.38 ×106m，地球表面 重力加速度为 g=9.80m/s2.试求： （1）飞船离开空间站 A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量 vA ，若飞船在远 地点恰好与卫星 B 相遇，为了实现无相对运动的捕获， 飞船所需的速度增量 vB . （2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站 至少需要绕地球转过的角度。 第 28 届物理决赛第 2 页 共 27 页 届决赛试题及答案 四、（15 分）摩尔质量为 μ的某种理想气体，从左向右流过一内壁光滑的长直水 平绝热导管， 导管内横截面的面积为 S，一摩尔绝对温度为 T 的该气体的内能为 5RT/2，式中 R 为普适气体常量。 （1）将一加热装置固定放置在管得中部，以恒定功率 W 给气体加热，如图 28 决—4（a）所示。假设该装置对气流的阻力可以忽略，当气流稳定后，管中气 体虽然在加热装置附近的状态不均匀，但随着与加热装置距离的增加而逐渐趋 于均匀。在加热装置左边均匀稳流区域中，气体的压强为 P0，温度为 T0，向右 流动的速度为 v0.已知加热装置右边均匀稳流区域中气体的压强为 P1，试求该区 域气体的温度 T1. 2）现将管中的加热装置换成一多空塞，如图 28 决—4（b）所示。在气流稳定后，多孔塞左边气体的温度和压强分别为 T0 和 P0，向右流动的速度为 v0；多孔塞右边气体的压强为 P2（P2P0）.假设气体在经过多孔塞的过程中与多孔塞没有任何形式的能量交换，求多孔塞右边气体的流速 v2. v0 加 v0 多 热 装 孔 P0,T0 P1 P0,T0 塞 P2 置 （a） 图 28 决— 4 （ b） 第 28 届物理决赛第 3 页 共 27 页 28 届决赛试题及答案 五、（15 分）如图 28 决—5 所示，一个三棱镜 ABC 的顶角 α小  A α D 于 90°.假设光线在纸面内以任意入射角入射到 AB 面上的 D 点， 经一次折射后， 又入射到 AC 面上，且能在 AC 面上发生全反射。 B 图 28 决— 5 C 已知光线在 AC 面上发生全反射的临界角为 Θ（Θ45°），AC 边足够长。试求下列两种情形下分别求三棱镜顶角 α的取值范围： 1）如果光线仅从 AB 面上法