(完整word版)周末培优辅导——平面向量.docVIP

第一讲 平面向量 一、知识结构 向量的三种表示 表示 三角形法则 平 向量加法与减法 平行四边形法则 面 向 量 向量平行的充要条件 实数与向量的积 运算 平面向量的基本定理 向量的数量积 二、重要知识 1、向量的相关概念 向量、向量的模、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 、相等向量 注： 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 2、向量的运算 （1）向量的加法： △法则， Y 法则 2）向量的减法：△法则：①作平移，共起点；②两尾连，指被减。 3）重要不等式： | ｜ a ｜ - ｜ b ｜ | ≤｜ a + b ｜≤｜ a ｜+｜ b ｜（ a 与 b 同向取后“ =”；a 与 b 异向时取前“ =”） a ｜ - ｜ b ｜｜≤｜ a - b ｜≤｜ a ｜ +｜ b ｜（ a 与 b 同向取前“ =”；a 与 b 异向取后“ =”）（4）实数与向量的积 （5）共线定理 ：向量 b 与非零向量 a 共线 是有且只有一个实数λ，使得 b =λ a . 3、平面向量基本定理 4、平面向量的坐标运算 5、线段的定比分点： 点 P 分有向线段 P1P2 ① 向量式： P P =λ· PP ② 坐标式： ( x x1 , y y1) ( x2 x, y2 y) 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x3 x x 2 x 3 ③ 坐标公式： 1 ( λ≠ -1) 中点公式： 重心： y1 y2 y1 y2 y1 y2 y3 y y 2 y 3 1 6、平面向量的数量积及运算律 (1). 概念、几何意义 （ 2）性质： ｜ a · b ｜≤｜ a ｜·｜ b ｜ （3）两向量的数量积与两数之间的乘法的区别 1 ①当 a ≠ 0 时，不能由 a · b =0，推出 b = 0 ，因 b 可能不为 0 ，但可能与 a 垂直 . ②不满足消去律，即 a · b = b · c a =c ③不满足结合律，即 a ( b · c ) ≠( a · b ) · c ， 7、平面向量数量积的坐标表示 典型例题 题型一、平面向量的线性运算 【小题练手 】 1（、 2013 北京卷（理））向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示 . 若 = + ( , μ ∈R), a b c c λaμb λ 则 =_________. b a c 【解析】任意一格点建系， r ( r r ( 1, 3) ， 2, 1 4 a 1,1),b (6, 2), c ， 2 uuur r uuur r uuur uuur uuuur r r 2、在 Y ABCD 中， AB a, AD b, AN 3NC ， M为 BC的中点，则 MN ____. （用 a、b 表示） 已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点， uuur uuur uuur ） D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0 ，那么（ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ａ． AO OD Ｂ． AO 2OD Ｃ． AO 3OD Ｄ． 2AO OD 【解析】 A ur uur uur ur uur uur r ur uur ur ur ur ur 3、设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 a2 a3 0 . 如果向量 b1 、 b2 、 b3 ，满足 bi 2 ai ，且 ai 顺 ur 同向，其中 i 1,2,3 ，则（ 时针旋转 30o 后与 bi ） ur uur ur r ur uur ur r ur uur ur r ur uur ur r （ A） b1 b2 b3 0 （ B） b1 b2 b3 0 （ C） b1 b2 b3 0 （ D） b1 b2 b3 0 【解析】 D 4、（ 2012 浙江理文） 设 a, b 是两个非零向量 . （ ） A．若 | a+b|=| a|-| b|, 则 a⊥ b B．若 a⊥ b, 则 | a+b|=| a|-| b| C．若 | a+b|=| a|-| b|, 则存在实数 λ, 使得 a=λb D．若存在实数 λ , 使得 a=λb, 则| a+b|=| a|-| b| 【解析】由平面向量三角不等式，选 C uuur 5、（ 2013 辽宁理） 已知点 A 1,3 , B 4, 1 , 则与向量 AB同方向的单位向量为 （ ） 2 3 ， - 4 B． 4 ， - 3 C． 3 4 4 3 A． 5 5 5 5 ， D． 5 ， 5 5 5 【解析】 A uuur uuur ( 4,2) , 则四边形的面积为 6 、（ 2013 福建理） 在四边形 ABCD中 , AC (1,2