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第六章 样本及抽样分布 【基本要求】 1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】 样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布—— 2 分布， t 分布， 分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】 对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】 4 学时 【授课内容】 6.0前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一 门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性； 而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的 一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来 选择、构造数学模型（即研究随机现象） 。其研究方法是归纳法（部分到整体） 。对研究对象的客 观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理 统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 § 6.1 随机样本 1 一、总体与样本 总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为 总体；而把组成总体的每个元素 称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是 个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每 个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几 项数量指标 X ( 可以是向量 ) 和该数量指标 X在总体的分布情况。 在上述例子中 X 是表示灯泡的寿 命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了 X 的这样或那样的数值， 因而这个数量指标 X 是一个随机变量（或向量） ，而 X 的分布就完全描写了总体中我们所关心的 那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和 数量指 标 X 可能取值的全体组成的集合 等同起来。 定义 1：把研究对象的全体（通常为数量指标 X 可能取值的全体组成的集合）称为 总体；总体中 的每个元素称为 个体。 我们对总体的研究， 就是对相应的随机变量 X 的分布的研究， 所谓总体的分布也就是数量指 标 X 的分布，因此， X 的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 X 。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。 例 1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X =所有小麦穗重量的全体（无限总体） ；个体——每个麦穗重 x 2 对应的分布： F ( x) P{ x} 重量 x的麦穗数 1 ( t ) 2 dt ~ N ( , 2 ) 0 x x 总麦穗数 2 例 2：考察一位射手的射击情况： =此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体；每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点） 1 射中 个体数量化 x 未中 1 在总体中的比例 p 为命中率 0 在总体中的比例 1 p 为非命中率 总体 X 由无数个 0，1 构成，其分布为两点分布 B(1, p) P{ X 1} p, P{ X 0} 1 p 样本与样本空间 为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。 抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。 一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的 性质。按照一定规则从总体 X 中抽取的一组个体 ( X1 , X 2 , , X n ) 称为总体的一个样本，显然，样 本为一随机向量。 为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行 n 次）， 若对抽样要求 ①代表性 ：每个个体被抽到的机会一样，保证了 X 1 , X 2 , , X n 的分布相同，与总体 一样。 ②独立性 ： X1 , X 2 , , X n 相互独立。那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本 ( X 1 , X2 , , X n ) 称为简单随机样本 。易知，对有限总体而言， 有放回的随机样本为简单随机样本， 无放回的抽样不能保证 X 1 , X 2 , , X n 的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单 随机样本，我们本书则主要研究 简单随机样本 。 3 对每一次观察都得到一组数据 （ x1 , x2 , , xn ），由于抽样是随机的， 所以观察值（ x1, x2 , , x