母线平行于坐标轴的柱面和空间曲线方程.pptxVIP

柱 面定义:在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所形成的曲面称为柱面。定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，这族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线.观察柱面的形成过程:柱 面定义:在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所形成的曲面称为柱面。定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，这族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线.观察柱面的形成过程:柱 面柱 面柱 面柱 面柱 面柱 面柱 面柱 面柱 面F(x, y)=0(1)2.3 母线平行于坐标轴的柱面的方程考虑一个不含变数z的方程表示什么图形?毫无疑问，在平面上,它一般表示一条曲线. 在空间呢?讨论:假设它在空间表示的曲面为?.我们将证明它是一个母线平行于z 轴的柱面.方程(1)在xoy平面上表示一条曲线, 记为?.?上任意点(x1, y1, 0).Q的坐标为:(x1, y1).Q在空间的坐标为:显然(x1, y1, 0)满足方程(1).(可以将方程(1)看作F(x, y)+0?z=0)yOx因此, Q点在曲面?上.也就是说, 曲线?上的点都在曲面?上.现在, 过Q点作一条垂直于xoy面的直线L.设P是L上任意一点.LP(x1, y1, k)P的坐标为:(x1, y1, k)这里k=QP, 代数长.?Q(x1, y1, 0)P的坐标满足方程(1)吗?满足!注意可以将方程(1)看作F(x, y)+0?z=0这说明整个直线L在曲面上.注意到Q点的任意性, 所以曲面?至少包含沿曲线?移动而平行于z轴的所有直线.yOx曲面?至少包含沿曲线?移动而平行于z轴的所有直线.除了这些直线外,曲面?还包含其它点吗?LP没有其它类型的点!证明:设P(x1, y1, z1)是Q曲面?上任意一点.?下面只须说明P在过P而平行于z轴的直线上.过P点作直线s垂直于xoy面, 垂足为Q. 则Q的坐标(x1,y1).由于P是曲面?上的点,所以它的坐标满足方程(1), 即F( x1, y1)=0LPyOQ?x这说明点( x1, y1)s也即点Q在曲线?上.所以直线 s(也即PQ)s是一条母线,在曲面上.证毕.在空间, 方程F(x, y)=0表示一张母线平行于z轴的柱面.在空间, 方程F(x, z)=0表示什么?一张母线平行于y轴的柱面.在空间, 方程F(y, z)=0表示什么?一张母线平行于x轴的柱面.zoybax例1在空间表示什么曲面?方程椭圆柱面zoyx动画椭圆柱面bazOyx在空间表示什么曲面?方程例2双曲柱面xz = 0y动画 双曲柱面ozzyox例3方程在空间表示什么曲面?抛物柱面zyox动画抛物柱面2.4 空间曲线的方程一、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.称为空间曲线的一般方程特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.例1 方程组 表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.zOyx例2 写出Oz轴的方程Oz轴可以看作是两个坐标面yoz和xoz面的交线.所以, Oz轴的一般方程为:同理, Ox轴的一般方程为:Oy轴的一般方程为:例3 求在xoy面上, 半径为R, 圆心在坐标原点的圆的方程.解:圆可以看作是一个平面和一个球的交线.考虑一个球心在坐标原点,半径为R的球面.它的方程是xOy面的方程为z=0所以所求圆的一般方程为:例4 方程组 表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图. 这个曲线称为维维安尼(Viviani)曲线.二、空间曲线的参数方程P于是,它的径矢 也O也可以看作是由动径矢 的终点P画出.我们称动径矢 是变数t的矢性函数.在空间取定一个标架(坐标系)点P是空间中一个动点, 它与参数t有关. 与参数t有关, 可以记为当t变化时, 动点P在空间画出一条曲线,显然, 这条曲线也就是说, 一个起点固定在坐标原点的矢量, 它若随着一个参数变化,那么它的终点就描画出一条曲线. 记为将矢性函数 用分量形式表示, 也就是说写成基矢量 的线性组合.定义2.1.2当空间取定了标架后, 如果矢性方程(1)与一条曲线有着关系:(1) 对于每一个t值,矢性方程的径矢的终点必在曲线上;(2) 曲线上任何一点的径矢都可以由方程(1)中取某个t值后得到.那么这个方程(1)就叫做这条曲线的矢量式参数方程, 其中t叫做参数.而这条曲线叫做这个矢性方程(1)的图形.例5 空间一个质点一方面绕一条轴线作等角速度