美国高中数学一考试题之推广.docVIP

PAGE 美国高中数学一考试题之推广 第36届美国高中数学有这么一道考试题即：求出使为非零可约分式的最小正整数n。 本文，旨在借助于最大公约数的性质与质数的性质，证明更广泛的一类非零可约分式，并求出使它成立的最小正整数n，同时将指出：上述一试题乃是它的一个特例，颇为有趣。 定理1：设p，p为奇质数且p＞p，若pp＋2k＝p为质数（其中k为正整数），则非零可约分式中的最小正整数n为n = p＋p 。 证明：因为p，p为奇质数，p＞p且p＝pp＋2k为质数（k为正整数）， 因为为非零可约分式，故n－p≠0，并设(n－p ，pn＋2k)＝d＞1 ① 由①可知： (n－p ，p(n－p)＋pp＋2k)＝d ② 即是 (n－p ，p(n－p)＋p)＝d ③ 因为 p(n－p)＋p＝(n－p) p＋p ④ 由③与④可知：（p(n－p)＋p ，n－p）＝(n－p ，p)＝d ⑤ 由⑤可知：d整除p，因d＞1，故p＝d 又因d整除n－p，故n－p＝d t ⑥ 由⑥可知n的最小正整数为n = p＋p ⑦（这里t＝1） 即非零可约分式中的最小正整数n为n = p＋p，其中p＝pp＋2k 特别是：当 p＝13 ，p＝5 ，2k＝6时，应用定理1可知： 推论1 非零可约分式中的最小正整数n为：n＝13＋13×5＋6＝84 又如，当 p＝13 ，p＝5 ，2k＝8时，应用定理1可得： 推论2 非零可约分式中的最小正整数n为：n＝13＋13×5＋8＝13＋73＝86 再如：当 p＝17 ，p＝11，2k＝4时，应用定理1可得： 推论3 非零可约分式中的最小正整数n为：n＝17＋17×11＋4＝17＋191＝208 理应指出的是，定理1的推论1实际上即是美国一试题的结果，由此可见，本文定理1乃是美国29届高中数学一试题之推广定理。 需要指出的是，如果把定理1略作改变，它将得到更为有趣的结果，即是 定理2 ：设p ，p为奇质数且p＞p，若p＝pp＋2k为质数（其中k为正整数），x－p≠0， 则不定方程px＋2k＝(x－p)y只有两组正整数解(x，y)＝(1＋p，p＋p)，( p＋p，1＋p) 证明：因p ，p为奇质数且p＞p，p＝pp＋2k为质数（其中k为正整数） 不定方程式px＋2k＝(x－p)y ① 其中x≠p， 设①有正整数解(x，y)，则由①得 p(x－p)＋pp＋2k＝(x－p)y ② 由②得：p(x－p)＋p＝(x－p)y ③ 由③可知：x－p整除p，因p为质数它只有两个约数即1和p，于是x－p＝1 ④ 或x－p＝p ⑤ 由③，④可知：x＝p＋1 y＝p＋p ⑥ 由③，⑤可知：x＝p＋p y＝p＋1 ⑦ 即此不定方程①只有两组正整数解(x，y)＝(p＋1，p＋p)，( p＋p，p＋1) ⑧ 特别是，当p＝13 ，p＝5 ，2k＝6时，应用定理2可得如下结果即是： 推论Ⅰ：不定方程5x＋6＝(x－13)y（其中x≠13）只有两组正整数解(x，y)＝(14，76)，(84，6) 又如：当p＝13 ，p＝5 ，2k＝18，p＝pp＋2k＝83，应用定理2可得如下结果即是： 推论Ⅱ：不定方程5x＋18＝(x－13)y（其中x≠13）只有两组正整数解(x，y)＝(14，88)，(96，6) 在结束本文之际，需要指出的是定理1与定理2有密切的关系，后者是前者的进一步发展，建议广大数学工作者再作进一步探讨！ 主要参考资料 1、陈传理：高中数学竞赛基础教程 华中师大出版社1995年 2、邱树华：整系数多项式在有理数域上既约性的一个新的判别法则 中国知识经济1999（6）