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常微分方程期终考试试卷 (1) 一、 填空题（ 30%） 1、方程 M ( x, y)dx N (x, y)dy 0 有只含 x 的积分因子的充要条件是（ ）。 有只含 y 的积分因子的充要条件是 。 ２、 称为黎卡提方程，它有积分因子 。３、 称为伯努利方程，它有积分因子 。 ４、若 X1(t), X 2(t),L , X n (t) 为 n 阶齐线性方程的 n 个解， 则它们线性无关的充要条件 是 。 ５、形如 的方程称为欧拉方程。 ６ 、 若 (t) 和 (t ) 都 是 x A(t) x 的 基 解 矩 阵 ， 则 (t) 和 (t )  具 有 的 关 系 是 。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 。 二、计算题（６０％） 1 、 ydx ( x y3) dy 0 ２、 x x A sin t cos2t 2 1  (t ), (0) 1 ３、若 1 4 试求方程组 x Ax 的解 2 并求 expAt ( dy)3 4xy dy 8y2 0 ４、 dx dx dy x y2 ５、求方程 dx 经过（ 0，0）的第三次近似解 dx x y 1,dy x y 5 求 dt dt 的奇点 , 并判断奇点的类型及稳定性 . 三、证明题（１０％） １、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 M N M N y x １、 N  (x) y x ( y) M dy p( x) y2 Q( x) y R( x) ２、 dx y y z dy ３、 dx p( x) y Q( x) yn  u(x, y)  y ne  ( n 1) p( x) dx ４、 w[ x1(t ), x2 (t ),L , xn (t )] 0 n d n y d n 1 dy x n a1 n 1 L an 1 dx an y 0 ５、 dx dx ６、 (t ) (t )C ７、零 稳定中心 二计算题 M 1, N 1 y x １ 、 解 ： 因 为 ， 所 以 此 方 程 不 是 恰 当 方 程 ， 方 程 有 积 分 因 子 2( y) 2 2 dy e y  e ln y 1 2y ，两边同乘 2 x 1 dx x y3 2得y y y 2 dy 0 2 得 所以解为 1dx y x y3 y2 y dy c y y2 c 2 即 2x y( y2 c) 另外 y=0 也是解 ２、线性方程 x x 的特征方程 2 1 0 故特征根 i f1(t ) sin t i 是特征单根，原方程有特解 1 x t( Acost Bsint)  代入原方程 A=- 2 B=0 f2 (t ) cos2t 2i 不 是 特 征 根 ， 原 方 程 有 特 解 A x Acos2t B sin 2t 代入原方程 1 3 B=0 1 2x c cost c sint 1 t cost 1 1 2 所以原方程的解为 2 3 ３、解：  p( ) 2 1 2 1 4  6 9 0  解得 1,2 3 此时 k=1  n1 2 1 v (t )  e3t 1 t i ( A  3E)i 1 e3t 1 t( 1 2 ) 2 t n 1 ti i 0 i ! i 2 2 t ( 1 2 ) e 由公式 expAt= i 0 i ! ( A E) 得 exp At e3t  E t( A  3E) e3t 1 0 t 1 1 e3t 1 t t 0 1 1 1 t 1 t dy 3 dx 8y2 x dy dy p3 8y2 ４、解：方程可化为 4y p x dx 令 dx 则有 4 yp  （ * ） （* ）两边对 y 求导： 2 y( p3 4 y2 ) dp dy p(8y2 p3) 4 y2 p ( p3 即 4 y 2 )(2 y dp dy  p) 0 由 2 y dp dy p 0 1 y 得 p cy 2 即 ( p) 2 c  将 y 代 入 c2 2 p c2 2 p x 4 c2 p 2 x （* ） 4 c2 即方程的 含参数形式的通解为： 1 y y ( ) c 4 x3  p 为参数 p4 y p 4 y 0 又由 得 y0 y0 p (4 0 x xdx 0 y2 ) 3 x 2 2 代入（ * ）得： 27 也是方程的解 y0 x x2 ( x ) dx x x 257250 4 2 20 2 5 7 2 5 y0 x x4 ( x x10 x )dx x