(完整版)常微分方程习题及解答.docVIP

一、问答题 ： 常微分方程习题及解答 常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义 ? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 dy P(x) y Q( x) 的通解。 dx 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为 y cl P( x )dx ，然后将 常数 c 变易为 x 的待定函数 c( x) ，令 y c( x)l P ( x) dx ，微分之，得到 dy dc( x) l dx dx P ( x) dx c(x)P( x)l P( x) dx  ，将上述两式代入方程中，得到 dc( x) l dx  P ( x) dx  c( x)P(x)l  P( x)dx c(x)P( x)l P ( x)dx Q( x) 即 积分后得到 y dc( x) dx c( x) P (x )dx l ( Q( x)l Q(x)l Q( x)l P ( x)dx P ( x)dx dx c%进而得到方程的通解 P ( x)dx dx c%) 高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答： n 阶线性微分方程的初值问题 2x( n) 2 a (t )x(n 1) ... an 1 (t ) x an (t) x f (t ) 1x(t0 ) 1 1, x (t0) ,. x(n 1)(t ) 0n其中 a1(t )， a2 (t ),...an (t), 0 n f (t) 是区间 a t b 上的已知连续函数， t0 a,b ， 1 , 2,..., n 是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题 0 1 0 L 0 0 0 0 1 L 0 0 x M M M M M x M 0 0 0 L 1 0 an (t ) an 1(t) an 2(t) L a1(t ) f (t) x(t 0) 但是需要指出的是每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。 若常系数线性方程组 x 与 B 有什么关系？ Ax 和 x Bx 有相同的基本解矩阵， 则 A 答 ： 设 常 系 数 方 程 组 x Ax 的 基 解 为 1 (t) exp At ， x Bt 的 基 解 为 2 (t) exp Bt ，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知 1(t) C 2 (t) ，则可得 exp At C exp Bt ， C 为非奇异 n n 的常数矩阵。 写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。 0(t) , t  a t b k (t) [ A( s) t 0 k 1(s) f ( s)]ds(k 1,2,L ) 二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解） ： 1. y x dy dx y2 sin2 x 解：方程可化为 xy y y2 sin2 x ，当 x 0时， y sin2 x y y2 ，是伯努利方程。 x x 1 sin 2 x 其中 P( x) ,Q( x) 。令 z y x x  1 ，方程可化为 dz z  2 sin x ，则 dx x x 1 dx z l x ( sin2 x 1dx l x c) x 1 ( sin2 xdx c) 1 ( 1 cos2 x dx c) x x 2 1 1 1 ( x x 2 4 sin 2x c) 1 sin 2 x c 4 x x 将 z y 1 代入上面的式子，可得 y 1 1 1 sin 2x c 或者 1 y 1 y sin 2 x cy y 0 也是方程的解。 2 4 x x 2 4 x x 22 y 2 ． y xy y l 0 解：令 y p ，则原方程可化为 y xp pl 2p 0 对 x 求导，可得 p x dp p 2 pl 2 p dp l 2 p dp 0 ， dx dx dx 则 ( x 2 pl 2 p l 2 p ) dp 0 dx 那么： x 2 pl 2 p l 2 p 0 或者 dp 0 dx 2 p 当 x 2 pl 2 p l 时，则 y ( 2 pl 2 p l 2 p ) p pl 2 p llp 2 p 2 p 2l 2 p p 2 p l l