07-08学年高等代数II试卷A[1].docVIP

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 7 页 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《高等代数I I》期末考试试卷(A) 专业 信科 班级 学号 姓名 . 请考生注意:本试卷共有六道大题,如有不对之处, 请马上与监考教师调换试卷! 题 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、设W1和W2是Rn?n的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实上三角矩阵构成, 则 W1+W2的维数等于 ，W1∩W2的维数等于 ． 2、 全体正实数的集合R+ 关于如下定义的加法?与数乘?: a?b = ab, k?a = ak, 构成实数域R上的线性空间,该空间中的零 向量是 ，维数是 . 3、线性空间中，矩阵在基，，，下的坐标为 　　　． 4、若P3的变换A：A(x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + a)是P3的一个线性变换，则a=　　．此时A的核是 　　　． 5、已知方阵有特征值0,0,3,则a,b的值分别为 ． 6、已知四阶方阵A的全部初等因子为 则其有理标 准形为 　　　． 7、已知三阶实对称方阵A有特征值2,2,3,且是属于3的特 征向量。则A的属于2的线性无关的特征向量是 　　　 ． 8、欧氏空间中一组基的度量矩阵是 ． 9、三维线性空间的两组基的对偶基分别 是。若从基到基 的过渡矩阵为，则从对偶基到对偶基 的过渡矩阵 是 ． 10、设是数域上的3维线性空间的一组基，是上的一个线性函数。若，则= ． 二、(15分)给定线性空间P4中的两个向量如下: ?1 = ( 1, 1, 0, 0 ), ?2 = ( 0, 1, 1, 1 ); 令W1 = L(?1, ?2 )， (1) 求 W1 + W2 的维数和一组基； (2) 求W1?W2 的维数和一组基。 三、(14分)在线性空间P [x] 3中定义线性变换A为： A (a+bx+cx2) = (a－c) + bx + (c－a)x2 。 (1) 求A在基1, x, x2下的矩阵； (2) 求出P [x] 3的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵． 四、（12分）求矩阵的不变因子和Jordan标准形。 五、（14分）设欧氏空间V的一组基的度量矩阵为。令 （1）求的一组标准正交基； （2）求的维数和一组标准正交基。 六、证明题（四题任选三题）（每小题5分，共15分） 1.设是欧氏空间中的两个向量。若关于中的任意一个向量，有证明 2．在中，证明微分变换D在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形。 3.设是数域上的n维线性空间，是其真子空间。证明存在的一组基，使得每个基向量都不在中。 4.设是n维欧氏空间中一非零向量。定义上线性变换A : A 证明存在的一组标准正交基，使得A 在该基下矩阵为对角阵