初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答[共25页].docVIP

初中数学二次函数存在性问题总复习试题 及解答 2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 1．（10 广东深圳） 如图，抛物线 y＝ax AD 在 x 轴上，其中 A（－2,0），B（－1, －3）． (1）求抛物线的解析式； (2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的 坐标； △PAD＝4S△ABM 成立，求点 P 的坐标． (3）在第（ 2）问的结论下，抛物线上的点 P 使 S y y A D A_ _D x O O x M B C B C 图 2 ∴ 4a c 0 a c 3 解之得： a c 1 4 ；故 2 4 y x 为所求 (2）如图 2，连接 BD，交 y 轴于点 M ，则点 M 就是所求作的点 设 BD 的解析式为 y kx b ，则有 2k b 0 k b 3 ， k b 1 2 ， 故 BD 的解析式为 y x 2；令 x 0, 则 y 2 ，故 M (0, 2) (3)、如图 3，连接 AM ，BC 交 y 轴于点 N，由（ 2）知， OM=OA=OD= 2， AMB 90 易知 BN=MN= 1， 易求 AM 2 2, BM 2 y P2 P1 1 S 2 2 2 2 ；设 ABM 2 2 P(x, x 4) ， 依题意有： 1 2 2 AD x 4 4 2，即： 1 2 2 4 x 4 4 2 A D x O 解之得： x 2 2 ， x 0，故 符合条件的 P 点有三个： M P1(2 2,4), P2 ( 2 2,4), P3(0, 4) B N C 图 3 P3 2． (10 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= m 1 4 2 x 5m 4 x m 2 3m 2 2 3m 2 y 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B (2，n)在这条抛物线上。 (1) 求点 B 的坐标； (2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过 P 点作 x 轴的 垂线，与直线 OB 交于点 E。延长 PE 到点 D。使得 ED= PE。 以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD (当 P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动 ) 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 1 O 1 x 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另 一 点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动， 速度为每秒 2 个单位 (当 Q 点到达 O 点时停 止 运动， P 点也同时停止运动 )。过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F。延长 QF 到点 M，使得 FM=QF，以 QM 为斜边， 在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN (当 Q 点运动时， M 点，N 点也随之运动 )。若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形 分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值。 答案： 解：(1) ∵拋物线 y= m2=2， m 4 1 2 x 5m 4 x m 2 3m 2 经过原点， ∴m2 3m 2=0，解得 m1=1， 2 3m 2 经过原点， ∴m2 3m 2=0，解得 m1=1， 由题意知 m 1，∴m=2， ∴ 拋物线的解析式为 y= 1 4 2 x 5 2 x，∵点 B(2，n)在拋 物线 y= 1 4 2 x 5 2 x 上， ∴n=4，∴B 点的坐标为 (2，4)。 (2) 设直线 OB 的解析式为 y= k1x，求得直线 OB 的解析式为 y D y=2 x，∵A 点是拋物线与 x 轴的一个交点，可求得 A 点的 坐标为 (10，0)，设 P 点的坐标为 (a，0)，则 E 点的坐标为 (a，2a)，根据题意作等腰直角三角形 PCD，如图 1。可求 B E C 得点 C 的坐标为 (3a，2a)，由 C 点在拋物线上，得 2a= 1 11 4 2 4 2 2 (3a) 5 3a，即 9 2 a a=0，解得 a1= 22 9 ，a2=0 O P 图 1 A x (舍去)，∴OP= 22 9 。 依题意作等腰直角三角形 QMN，设直线 AB 的解析式为 y= k2x b，由点 A(10，0)， 点 B(2，4)，求得直线 AB 的解析式为 y= 1 2 x 5，当 P 点运动到 t 秒时，两个等 腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况： CD 与 NQ 在同一条直线上。如图 2 所示。可证 △DPQ 为等腰直角 三 角形。 此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为 t、4t、2t 个单位。 ∴PQ=DP =4t， ∴t 4t 2t=10，∴t= 10 7