2011年北京市初二数学竞赛试卷.docVIP

菁优网 Http:// ?2010 箐优网 2011年北京市初二数学竞赛试卷 ? 2012 菁优网 一、选择题（每题5分，共25分） 1、满足x2﹣4y2=2011的整数对（x，y）的组数是（　　） A、0 B、1 C、2 D、3 2、右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，请在图中第八行所有○中填好应填的数字，则这前8行36个数的和等于（　　） A、257 B、256 C、255 D、254 3、四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=80°，AD=AB=BC，CH⊥AB于H．连接DH，则∠CHD的度数为（　　） A、30° B、35° C、40° D、45° 4、化简的结果是（　　） A、1 B、 C、 D、 5、如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　） A、 B、 C、 D、 二、填空题（每题7分，共35分） 6、已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于　_________　． 7、已知AD是△ABC的中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°，则∠ACB=　_________　度． 8、关于x、y的方程的正整数解（x，y）共有　_________　组． 9、两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如右图，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若，则AB的长是　_________　． 10、连续的n个自然数，在每个数写成标准的质因数乘积分解式后，每个质因数都是奇数次幂，这样的n个连续的自然数称为一个“连n奇异组”，如n=3时，22=21×111，23=231，24=23×31，则22，23，24就是一个“连3奇异组”．那么“连n奇异组”中n的最大可能值是　_________　． 三、（满分10分） 11、在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC． 四、（满分15分） 12、关于m和n的方程5m2﹣6mn+7n2=2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由． 五、（满分15分） 13、如图，矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l． （1）求l的最小值． （2）请指出当l取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置． 答案与评分标准 一、选择题（每题5分，共25分） 1、满足x2﹣4y2=2011的整数对（x，y）的组数是（　　） A、0 B、1 C、2 D、3 考点：数的整除性问题。 分析：由平方差公式可知x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），（x+2y）与 （x﹣2y）同为奇数或者偶数，将2011分为两个奇数的积，分别解方程组即可． 解答：解：∵2011=1×2011=（﹣1）×（﹣2011）， ∴（x+2y），（x﹣2y）分别可取下列数对 （1，2011），（2011，1），（﹣1，﹣2011），（﹣2011，﹣1）， ∴， 解得：不合题意舍去， ∴， 解得：不合题意舍去， ∴， 解得：不合题意舍去， ∴， 解得：不合题意舍去， 由此可得方程有0组整数解． 故选：A． 点评：此题考查了平方差公式的实际运用，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同． 2、右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，请在图中第八行所有○中填好应填的数字，则这前8行36个数的和等于（　　） A、257 B、256 C、255 D、254 考点：规律型：数字的变化类。 专题：规律型。 分析：根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和，据此求解． 解答：解：通过观察得到：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和， 1+6=7，6+15=21，15+20=35， 所以图中第八行所有○中填好应填的数字分别是，1，7，21，35，35，21，7，1， 通过观察得到：第一行为和为1．第二行为2，第三行为4，…，每行都是前一行的2倍， 所以这前8行36个数的和为：1+2+4+8+16+32+64+128=255． 故选：C． 点评：此题主要是熟悉杨辉三角的规律：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． 3、四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=80°，AD=AB=BC，CH⊥AB于H．连接DH