第一节常数项级数 课件.pptVIP

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十一章 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 * 四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十一章 一、常数项级数的概念 引例 1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 . 依次作圆内接正 ) , 2 , 1 , 0 ( 2 3 ? ? ? n n 边形 , 这个和逼近于圆的面积 A . 0 a 1 a ? 2 a ? ? ? n a ? 设 a 0 表示 , 时 ? ? n 即 ? ? ? ? ? ? ? ? n a a a a A 2 1 0 内接正三角形面积 , a k 表示边数 增加时增加的面积 , 则圆内接正 边形面积为 n 2 3 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例 2. 小球从 1 米高处自由落下 , 每次跳起的高度减 少一半 , 问小球是否会在某时刻停止运动 ? 说明道理 . 由自由落体运动方程 2 g 2 1 t s ? 知 g 2 s t ? 则小球运动的时间为 1 t T ? 2 2 t ? 3 2 t ? ? ? ? ? ? ? g 2 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 2 ) 2 ( 1 ? ? ? ? ? 2 1 2 ? ? g ? ? 1 2 ? 63 . 2 ? ( s ) ? ? ? 设 t k 表示第 k 次小球落地的时间 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 ： 给定一个数列 ? ? , , , , , 3 2 1 n u u u u 将各项依 , 1 ? ? ? n n u 即 ? ? ? 1 n n u ? ? ? ? ? ? ? ? n u u u u 3 2 1 称上式为 无穷级数 ， 其中第 n 项 n u 叫做级数的 一般项 , 级数的前 n 项和 ? ? ? n k k n u S 1 称为级数的 部分和 . n u u u u ? ? ? ? ? ? 3 2 1 次相加 , 简记为 , lim 存在 若 S S n n ? ? ? 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的 和 , 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? ? ? ? 1 n n u S 当级数收敛时 , 称差值 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 n n n n u u S S r 为级数的 余项 . , lim 不存在 若 n n S ? ? 则称无穷级数 发散 . 显然 0 lim ? ? ? n n r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 讨论等比级数 ( 又称几何级数 ) ) 0 ( 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a q a q a q a a q a n n n ? ? ( q 称为公比 ) 的敛散性 . 解 : 1) 若 , 1 ? q 1 2 ? ? ? ? ? ? n n q a q a q a a S ? q q a a n ? ? ? 1 时， 当 1 ? q , 0 lim ? ? ? n n q 由于 从而 q a n n S ? ? ? ? 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a ? , 1 时 当 ? q , lim ? ? ? ? n n q 由于 从而 , lim ? ? ? ? n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2). 若 , 1 ? q , 1 时 当 ? q a n S n ? 因此级数发散 ; , 1 时 当 ? ? q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a n 1 ) 1 ( 因此 ? ? ? ? n S n 为奇数 n 为偶数 从而 n n S ? ? lim 综合 1) 、 2) 可知 , 1 ? q 时 ,